【POJ1160】【IOI2000】邮局（区间dp）

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本文介绍了一种通过动态规划解决邮局选址问题的方法，旨在使所有村庄到最近邮局的距离总和达到最小。文章详细解释了解题思路，并给出了具体的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】

有一条笔直的高速公路，路旁分布着一些村庄。公路可以用一条数轴表示，则村庄的位置就是其坐标。没有两个村庄的坐标相同。两个村庄之间的距离就是它们坐标之差的绝对值。
一些——但不一定是所有的村庄将修建邮局。邮局和该邮局所在的村庄处于同一位置。应当仔细选择邮局的位置，使得所有村庄到最近邮局的距离总和最短。
你要编写一个程序，给出所有村庄的坐标和计划修建的邮局个数，计算所有村庄到最近邮局的距离总和的最小可能值。

【输入格式】

输入文件的第一行有2个正整数：村庄数V(1<=V<=300)，邮局数P(1<=P<=30)，P<=V。
第二行有V个正整数，分别代表N个村庄的坐标。坐标的范围是[1,10000]，坐标按递增顺序给出。

【输出格式】

输出一行一个正整数S，即所有村庄到最近邮局的距离总和的最小可能值。

【样例输入】

10 5
1 2 3 6 7 9 11 22 44 50

【样例输出】

【提示】

对于30%的数据，1<=P<=N<=10.
对于100%的数据，1<=P<=30,1<=N<=300,P<=N.

【题解】

本题不太好想，我们可以本着特殊到一般的思想，先考虑村庄i到村庄j之间只有一个邮局的情况。那么这个邮局就一定在i和j的中点处。
令dis[i][j]表示i到j之间只有一个邮局时的距离和，则
dis[i][j]=dis[i][j-1]+pos[j]-poj[(i+j)>>1];
下面我们来考虑多个邮局的情况，同样可有递推式：令dp[i][j]表示前i个村庄建了j个邮局的距离最小和，则
dp[i][j]=dp[k][j-1]+dis[k+1][i]; (j-1 <= k < i)
有点类似C(N,M)=C(N-1,M)+C(N-1,m-1)吧？
其实就是前k个村庄修了j-1个邮局，后面再修一个的最小值。
边界情况：
dp[i][i]=0//每村一个
dp[i][1]=dis[1][i]//只有一个

代码如下：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define ll long long
#define inf 0x7f7f7f7f
#define N 305
#define M 35
using namespace std;
int n,m,x[N],dis[N][N],dp[N][M];
int main()
{
    freopen("postoffice.in","r",stdin);
    freopen("postoffice.out","w",stdout);
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++) dis[i][j]=dis[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][i]=0;
            dp[i][1]=dis[1][i];
        }
        for(int j=2;j<=m;j++)
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][j]=inf;
            for(int k=j-1;k<i;k++) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+dis[k+1][i]);
        }
        printf("%d\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}