UVA 11609 (组合数学)

最新推荐文章于 2021-02-15 23:41:08 发布

morejarphone

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分类专栏：组合数学

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本文通过巧妙的数学变换，推导出了求和公式sigma(i*C(n,i))的简洁形式，即n*2^(n-1)，并提供了一段C++代码实现该公式的快速计算。

题意:求sigma(i*C(n, i)).

因为i*C(n, i) = i*n*(n-1)*...*(n-i+1)/i! = n*(n-1)*...*(n-2+1)/(i-1)! = (n-i+1)*C(n, i-1),

所以(i-1)*C(n,i-1)+i*C(n, i) = n*C(n, i-1),所以这个求和式的没两项都能合并,提出一个

n的公约数后,最后就是n*[C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+...] = n*2^(n-1).奇偶的情况是一样

的都是这个结果.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const long long mod = 1e9+7;

long long n;

long long qpow (long long a, long long b) {
    if (b == 0)
        return 1;
    long long ans = qpow (a, b>>1);
    ans = ans*ans % mod;
    if (b&1) ans = ans*a%mod;
    return ans;
}

int main () {
    int t, kase = 0;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n;
        printf ("Case #%d: ", ++kase);
        cout << (n*qpow (2, n-1))%mod << endl;
    }
    return 0;
}