信息论学习模型----最大熵原则

最大熵原则

当根据不完整的信息作为依据进行推断时，应该由满足分布限制条件的具有最大熵的概率分布推得。

最大熵问题是一个约束最优化问题。要说明解这个问题的步骤，考虑最大微分熵：

$$h(X) = -\int_{-\infty}^{+\infty}{p_x(x) \log p_x(x)} \,{\rm d}x$$
对所有随机变量X的概率密度函数$p_x(x)$，满足以下约束条件：
1. $p_x(x) \geq 0$,在$x$的支持集之外等式成立；
2. $\int_{-\infty}^{+\infty}{p_x(x)} {\rm d}x =1$；
3. $\int_{-\infty}^{+\infty}{p_x(x) g_i(x)} \,{\rm d}x =a_i,对i=1,2,...,m$；
其中 $g_i(x)$是x的一部分函数，约束1和约束2描述概率密度函数的基本属性，约束3定义变量X的矩，它随$g_i(x)$的表达式不同而发生变化。

$$p_x(x) = exp(-1 + \lambda _0+ \sum_{i=1}^m \lambda _i g_i(x)) \tag{式1}$$
式1定义了最大熵问题的最大熵分布，其解法如下：
首先形成拉格朗日函数：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}[-p_x(x) \log p_x(x) + \lambda _0 + \sum_{i=1}^m \lambda _ig_i(x)p_x(x)\,{\rm d}x ] \tag{式2}$$
其中$\lambda _0，\lambda _i，....,\lambda _i$是拉格朗日乘子，对式2的被积函数求$p_x(x)$的微分，并使其为0，得到
$$-1-\log p_x(x) + \lambda _0+ \sum_{i=1}^m \lambda _ig_i(x)=0$$
解此方程得到式1。

一维高斯分布

假设用先验知识为随机变量X的均值$\mu$和方差$\sigma ^2$,根据定义随机变量X的方差由下式给出：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}(x- \mu)^2p_x(x)\,{\rm d}x = \sigma ^2 = 常数$$
将此式与约束条件3作比较，看出
$$g_1(x) = (x-\mu )^2$$
和
$$a_1 = \sigma ^2$$
所有带入式1可得：
$$p_x(x) = exp[-1 + \lambda _0+ \lambda _1(x - \mu)^2]$$
将此等式带入约束条件2和3，解出$\sigma _0和 \sigma _i$得到：
$$\lambda _0 = 1- \log (2 \pi \sigma^2)$$
和
$$\lambda _1 = - \frac{1}{2\sigma^2}$$
所以得到的$p_x(x)$的分布形式为：
$$p_x(x) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \mu}}exp( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})$$

这样的随机变量的微分方程最大值为：

$$h(X) = \frac{1}{2}[1 + log(2 \pi \sigma ^2 )]$$

多维高斯分布

建立计算多维高斯分布的微分熵的计算公式，由于高斯分布的熵与随机变量X的均值无关，为简化讨论，仅讨论具有均值为0的随机变量X。这样二阶统计性质由其协方差矩阵$\sum$决定，它为X同自身的外积的期望所定义，这样X的联合密度函数由：

$$p_x(x) = \frac{1}{（2\pi）^{m/2}(det(\Sigma))^{1/2}}exp(- \frac{1}{2}X^T \Sigma^{-1}X)$$
根据X微分熵的定义。得到：
$$h(X) = \frac{1}{2}[m+m\log(2\pi) +\log|det(\Sigma)|]$$