洛谷-4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）_给定 n 组非负整数 ai,bi,求解关于 x 的方程组-优快云博客

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本文探讨了如何使用中国剩余定理求解一组特定的同余方程，以找到满足所有给定条件的最小非负整数解。通过详细的算法描述和代码实现，读者可以了解到如何处理大规模数据输入，避免乘法运算中的溢出风险，并确保解决方案的有效性和效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
给定 n 组非负整数 $a_i, b_i$
，求解关于 x 的方程组的最小非负整数解。
$an)\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}$
输入格式
输入第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行两个非负整数 $a_i, b_i$
输出格式
输出一行，为满足条件的最小非负整数 x。

输入输出样例
输入 #1
3
11 6
25 9
33 17

输出 #1
809

说明/提示
$\leq 10^5, 1 \leq a_i \leq 10^{12}, 0 \leq b_i \leq 10^{12}, b_i < a_in≤10$ ，保证答案不超过 $10^{18}$
请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。
数据保证有解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;
long long read(){
    long long f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}
const int maxn=100010;
int n;
long long ai[maxn],bi[maxn];
long long mul(long long a,long long b,long long mod){
    long long res=0;
    while(b>0){
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}
long long excrt(){
    long long x,y,k;
    long long M=bi[1],ans=ai[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        long long a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;
        long long gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0) return -1; 
        x=mul(x,c/gcd,bg);
        ans+=x*M;
        M*=bg;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}

int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    bi[i]=read(),ai[i]=read();
    printf("%lld",excrt());
    return 0;
}