洛谷-3216 [HNOI2011]数学作业

最新推荐文章于 2024-07-09 01:32:36 发布

mkopvec

最新推荐文章于 2024-07-09 01:32:36 发布

阅读量255

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：算法题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/mkopvec/article/details/102755771

算法题专栏收录该内容

311 篇文章

订阅专栏

小C面临一道复杂的数学作业题，要求计算将1至N的所有正整数顺序连接后的数对M取模的值。面对巨大的数值范围，小C寻求编程解决方案，通过矩阵快速幂等算法，最终实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：
给定正整数 $N$ 和 $M ，$ 要求计算 $C o n c a t e n a t e (1 . . N) M o d M$ 的值，其中 $C o n c a t e n a t e (1 . . N)$ 是将所有正整数 $1, 2, \dots, N$ 顺序连接起来得到的数。例如， $N = 13$ $C o n c a t e n a t e (1 . . N) = 12345678910111213$ .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
输入格式
从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足 $1 \leq N \leq 1000000$ ；100%的数据满足 $1≤N≤10^{18}$ 且 $1≤M≤10^{9}$
输出格式
输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 $C o n c a t e n a t e (1 . . N) M o d M$ 的值。

输入输出样例
输入 #1
13 13

输出 #1
4

解释： $dp[i]=dp[i-1]*10^{len(i)}+i$ ,然后我们把它写成矩阵的形式， $dp[i],i+1,1]^T=$
$\left[ \begin{matrix} 10^{len(i)} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]*[dp[i-1],i,1]^T$
因为 $l e n (i)$ 是不同的，我们分块进行矩阵快速幂

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long dp[14][13]={0};
long long te[14]={0};
long long Abs(long long x){
    if(x>0) return x;
    return -x;
}
long long ok(long long n){
    long long a[14]={0};
    long long len=0;
    long long m=n;
    while(m){
        a[++len]=m%10;m/=10;
    }
    long long ret=te[len];
    reverse(a+1,a+1+len);
    for(long long i=1;i<=len;i++){
        for(long long j=((i==1)?1:0);j<a[i];j++){
            if(Abs(a[i-1]-j)>=2||i==1) ret+=dp[len-i+1][j];
        }
        if(Abs(a[i]-a[i-1])<2&&i!=1) break;
    }
    long long i=0;
    if(len>=2)
        for(i=2;i<=len;i++){
            if(Abs(a[i]-a[i-1])<2) break;
        }
    if(i>len) ret++;
    return ret;
}
int main(){
    for(long long i=0;i<10;i++) dp[1][i]=1LL;
    te[1]=0;
    te[0]=0;
    for(long long i=2;i<14;i++){
        for(long long j=0;j<10;j++){
            for(long long k=0;k<10;k++){
                if(Abs(k-j)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];
            }
            if(j) te[i]+=dp[i-1][j];
        }
        te[i]+=te[i-1];
    }
    long long l,r;cin>>l>>r;
    cout<<ok(r)-ok(l-1)<<endl;
    return 0;
}