洛谷-2518 [HAOI2010]计数

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本文介绍如何使用数位动态规划（数位DP）解决一类特定的排列组合问题，即给定一组非零数字，通过插入0来生成无限数量的数，并计算在某个数之前有多少个可能的组合。文章详细解析了算法思路，包括如何计算排列组合的数量，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
你有一组非零数字（不一定唯一），你可以在其中插入任意个0，这样就可以产生无限个数。比如说给定{1,2},那么可以生成数字12,21,102,120,201,210,1002,1020,等等。
现在给定一个数，问在这个数之前有多少个数。（注意这个数不会有前导0）.
输入格式
只有1行，为1个整数n.
输出格式
只有整数，表示N之前出现的数的个数。

输入输出样例
输入 #1
1020

输出 #1
7

说明/提示
n的长度不超过50，答案不超过2⁶³-1.

解释：类似数位 $d p$ ,现在有 $n$ 位， $0, 1, 2, 3, . . 9$ 等数个数分别是 $a [0], a [1], . . . a [9]$ ,则排列个数为
$C (n, a [0]) * C (n - a [0], a [1]) * . . . . . C (n - a [0] - a [1] . . . a [8], a [9])$ 所以我们可以对第i位枚举，然后排列组合就好了

#include<iostream>
using namespace std;
long long c[1003][1003]={0};
long long C(int n,int m){
    if(m==0||n==m) return 1LL;
    if(c[n][m]) return c[n][m];
    return c[n][m]=C(n-1,m-1)+C(n-1,m);
}
char str[123];
int nn=0,n=0;
int H[123]={0};
long long ret=0;
long long ok(){
    int m=nn;
    long long ans=1;
    for(int i=0;i<10;i++){
        if(H[i]){
            ans*=C(m,H[i]);
            m-=H[i];
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>(str+1);
    for(int i=1;str[i];i++){
        H[str[i]-'0']++;
        n++;nn++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int y=str[i]-'0';
        nn--;
        for(int j=0;j<y;j++){
            if(H[j]){
                H[j]--;ret+=ok();H[j]++;
            }
        }
        H[y]--;
    }
    cout<<ret<<endl;
    return 0;
}