动态规划入门

（1）用 DP 做的题大多数返回值是int/boolean, 求max/min，不能打乱原来输入顺序。

（2）动态规划有两个重要定义，一个叫 "optimal substructure"，另一个叫 "overlap subproblem".

各种排序 / Tree 类问题中，都会用到 divide & conquer 的思想，去把问题分成若干个 "disjoint" subproblems，然后递归解决。

"Disjoint" subproblem 在 Tree 类问题上体现的最为明显，左子树是左子树的问题，右子树是右子树的问题。因此 Tree 类问题上，更多的是解决“disjoint subproblem 的整合” 还有 “非连续 subproblem 的处理”。

而动态规划的中心思想是，面对 search tree 里都是 "overlap subproblem"，如何根据问题结构制定缓存策略，避免重叠问题重复计算。

(3) 根据CLRS，动态规划分为两种：

• top-down with memoization (递归记忆化搜索)

  • 等价于带缓存的，搜索树上的 DFS

  • 比较贴近于新问题正常的思考习惯

• bottom-up (自底向上循环迭代)

  • 以 "reverse topological order" 处理

  • 每个子问题下面依赖的所有子问题都算完了才开始计算当前

  • 一般依赖于子问题之间天然的 "size" 联系

两种解法 big-O 时间复杂度一致，bottom-up 的 constant factor 小一些。

(4) 动态规划的另一个要素是 "optimal substructure":

• A problem is said to have optimal substructure if an optimal solution can be constructed efficiently from optimal solutions of its subproblems.

• optimal substructure 指，一个问题的最优解，可以由其子问题的最优解构造出来。