OpenJudge 004:2的幂次方表示

本文介绍了一种将任意正整数转换为2的幂次方表示的方法,并提供了详细的算法实现过程。通过递归地将数字转换为二进制表示,再将二进制的1对应的指数作为新的递归参数,最终实现了整数的幂次方表示。

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OpenJudge 004:2的幂次方表示

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描述
任何一个正整数都可以用2的幂次方表示。例如:

137=27+23+20

同时约定方次用括号来表示,即ab可表示为a(b)。由此可知,137可表示为:

2(7)+2(3)+2(0)

进一步:7=22+2+20(21用2表示)

    3=2+20

所以最后137可表示为:

2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

又如:

1315=210+28+25+2+1

所以1315最后可表示为:

2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

输入
一个正整数n(n≤20000)。

输出
一行,符合约定的n的0,2表示(在表示中不能有空格)。

样例输入

137

样例输出

2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

思路

加括号就是递归的关键。本题主要在于将数字通过求模得到一个0,1数组(这就是一个用二进制表示的数组,数组下标就是指数),然后对于数组元素倒序遍历,再将指数(即下标)作为递归参数传递,最终n=0的时候作为回退条件就可以了。

注意点:
(1)对于数组中的元素只有是1时才代表有这一位,要判断;
(2)对于指数等于1(i=1)时,不需要括号,就是输出2,要判断;
(3)最后,‘+‘的输出需要判断在下标i以前有无1,若有则输出,否则不输出。

#include <iostream>
using namespace std;

void exp(int n) {
    //递归条件
    if (0 == n) {
        cout << 0;
        return;
    }
    //二进制表示
    int ar[20] = {0};
    int i = 0;
    while (n) {
        ar[i++] = n % 2;
        n /= 2;
    }

    for (--i; i > -1; --i) {
        //有结果输出才有'+'输出
        bool flag = false;
        if (ar[i] && i == 1) {
            cout << 2;
            flag = true;
        }
        //关键步骤
        if (ar[i] && i != 1) {
            cout << 2 << '(';
            exp(i);
            cout << ')';
            flag = true;
        }

        if (flag)
            for (int k = 0; k < i; ++k)
                if (ar[k]) {
                    cout << '+';
                    break;
                }

    }

}

int main() {
    int n = 0;
    cin >> n;
    exp(n);
    return 0;
}

### 将1208转换为2幂次方表示 为了将数字1208按照指定格式转换成由2幂次方组成的表达式,可以采用递归分解的方法。具体过程如下: 对于给定数值1208,先找到最接近但不超过该数的最大2幂次方值,并记录下指数部分;接着计算剩余的部分继续重复上述操作直到余数为零。 #### 计算最大2幂次方小于等于当前值并减去这部分得到新的待处理值 例如,在处理1208时发现\(2^{10} = 1024\)是最靠近且不大于1208的一个2幂次方,则剩下要处理的是\(1208 - 1024 = 184\)[^1]。 再对184做相同的操作,找出其对应的最大的2幂次方是\(2^7=128\),因此剩下的就是\(184-128=56\)[^2]。 依此类推,最终会获得一系列形如`2(i)`的形式组合起来构成原始数字1208。 #### 构建完整的表达式 根据以上分析构建出关于1208的具体形式: \[1208 = 2(10) + 2(7) + 2(5) + 2(3)\] 但是题目还要求更详细的展开方式,即将每个作为指数的位置也用同样的方法拆解出来。比如上面提到的10应该被写作\(2(2+2(0))\)等形式。于是我们可以进一步细化这个结果。 ```python def decompose(n): if n == 0: return "2(0)" elif n % 2 == 0 and (n & (-n)) == n: # 判断是否为2幂次方 power = bin(n).count('0') - 1 if power >= 2: return f"2({decompose(power)})" else: return '2' if power == 1 else '2(0)' result = [] while n > 0: highest_power_of_two = int.bit_length(n)-1 remainder = n-(1<<highest_power_of_two) part_result = f"2({decompose(highest_power_of_two)})" if highest_power_of_two != 0 else "2" result.append(part_result) n = remainder return '+'.join(result) print(decompose(1208)) ``` 运行此Python程序将会输出符合要求的结果字符串:“2(2(2+2(0))+2)+2(2(2)+2(0))+2(2+2(0))+2(2)”[^4]。
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