球坐标下的Laplace

本文探讨了在球坐标系统下如何应用拉普拉斯算子(Δ)。通过分解算子并分别对径向、纬度和经度方向进行偏导数运算,展示了求解球坐标中函数梯度和拉普拉斯方程的方法。

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球坐标下的Laplace
∇=r^∂r+θ^1r∂θ+ϕ^1rsin⁡θ∂ϕΔφ=∇⋅∇φ=∇⋅(r^∂rφ+θ^r∂θφ+ϕ^rsin⁡θ∂ϕφ)=∇(r2sin⁡θ∂rφ)⋅r^r2sin⁡θ+∇(sin⁡θ∂θφ)⋅θ^rsin⁡θ+∇(1sin⁡θ∂ϕφ)⋅ϕ^r=1r2∂r(r2∂rφ)+1r2sin⁡θ∂θ(sin⁡θ∂θφ)+1r2sin⁡2θ∂ϕ∂ϕφ \nabla=\hat{r}\partial_r+\hat{\theta}\frac{1}{r}\partial_\theta+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\\ \Delta\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi\\ =\nabla\cdot(\hat{r}\partial_r\varphi+\frac{\hat{\theta}}{r}\partial_\theta\varphi+\frac{\hat{\phi}}{r\sin\theta}\partial_\phi\varphi)\\ =\nabla(r^2\sin\theta\partial_r\varphi)\cdot\frac{\hat{r}}{r^2\sin\theta}+\nabla(\sin\theta\partial_\theta\varphi)\cdot\frac{\hat{\theta}}{r\sin\theta}+\nabla(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\phi\varphi)\cdot\frac{\hat{\phi}}{r}\\ =\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\varphi)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\varphi)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi\partial_\phi\varphi =r^r+θ^r1θ+ϕ^rsinθ1ϕΔφ=φ=(r^rφ+rθ^θφ+rsinθϕ^ϕφ)=(r2sinθrφ)r2sinθr^+(sinθθφ)rsinθθ^+(sinθ1ϕφ)rϕ^=r21r(r2rφ)+r2sinθ1θ(sinθθφ)+r2sin2θ1ϕϕφ

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