hrbust 1216/哈理工oj 1216 数的划分【dp】

最新推荐文章于 2022-10-01 13:47:24 发布

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本文介绍了一个经典的组合数学问题——数的划分，并详细阐述了如何利用动态规划（DP）来解决该问题。通过具体实例展示了DP状态转移方程的设计思路，最终给出了一段高效的AC代码。

数的划分

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Description

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;

问有多少种不同的分法。

Input

有多则测试数据。

对于每组测试数据，仅有一行，包括两个整数n，k (6<n<=200，2<=k<=6)。

Output

对于每组测试数据，输出一个整数，即不同的分法。

Sample Input

7 3

Sample Output

4

Hint

输入： 7 3

输出：4 {四种分法为：1，1，5; 1，2，4; 1，3，3; 2，2，3;}

Source

NOIp2001高中组

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黄李龙

第一眼看到这个题，最基础的思路有两个，一个是dp，估计推出不来，一个是搜索找解，因为数据不是很大，也许交一发超时实在不行还可以打表。

然后默默的dfs，也解出了样例。但是在测试数据的时候整个人都崩溃了、输入 200 6的时候，等待是很漫长的、、、、、剪枝无果，dp找思路。找啊找啊找思路，无果，百度数的划分，最后找到了明确的解释。

dp的思路是这样形成的：

考虑两个极端，一个是不要1的情况，一个是至少要一个1的情况（也可以理解为要1的情况）、

如果我们规定dp【i】【j】表示数据i分成j个数据有多少方法的话，我们的dp【i-1】【j-1】就是至少要一个1的情况（要1的情况）、那么dp【i-j】【j】就是不要1的情况。

后边这半句话可能理解起来费点劲。假如我们拿样例来说话，根据刚刚的思路写出这样的等式：

dp【7】【3】=dp【4】【3】+dp【6】【2】、假设我们这里知道dp【4】【3】和dp【6】【2】。后边的dp【6】【2】很好理解，在6的基础上加1，同时相当于7分解成6和1、但是前边我们怎么理解呢？我们这样理解这个问题：7个小球放在3个盒子里，不要有任何一个盒子只有一个小球，这个时候我们可以先拿出3个小球，然后任意分配4个小球到三个盒子里，然后我们手里的三个小球，每一个盒子里都放下一个小球，这样就形成了不会有哪个盒子只有一个小球的情况，所以这里我们就能得到这样的动态规划方程：
dp【i】【j】=dp【i-j】【j】+dp【i-1】【j-1】；

最后上完整的AC代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace  std;
int dp[205][7];
int main()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 205; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= 6; j++)
        {
            if (i >= j)
            {
                dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    int n, k;
    while (~scanf("%d%d", &n, &k))
    {
        printf("%d\n", dp[n][k]);
    }
    return 0;
}