25、递归编程中的执行、复杂度与优化策略

递归编程中的执行、复杂度与优化策略

1. 栈跟踪

栈跟踪是调试程序时非常有用的概念，它描述了程序执行过程中某一特定时刻的程序栈状态。大多数编程语言都提供了显示栈跟踪的功能，在 Python 中可以通过 traceback 模块来实现栈跟踪。

当程序出现运行时错误时，通常会打印栈跟踪信息。例如，将以下代码中的加法运算符替换为减法运算符：

s = s - u[i]*v[i]

这显然是错误的，因为其他依赖于 dot_product 的函数也会出错。当尝试计算一个（非零）向量的欧几里得范数时，会导致运行时错误，因为程序会尝试计算负数的平方根。运行代码时，标准 Python 解释器会打印类似如下的消息：

Traceback (most recent call last):
  File "traceback_example.py", line 18, in <module>
    print(cosine(a,b))
  File "traceback_example.py", line 13, in cosine
    return dot_product(u,v)/norm_Euclidean(u)/norm_Euclidean(v)
  File "traceback_example.py", line 10, in norm_Euclidean
    return math.sqrt(dot_product(v,v))