5、动态系统建模与分析：瞬态响应、传递函数及非线性方程线性化

动态系统建模与分析：瞬态响应、传递函数及非线性方程线性化

在动态系统的研究中，理解系统对不同输入的响应以及如何处理非线性方程是至关重要的。下面将通过具体的例子详细介绍瞬态响应、传递函数的应用，以及非线性方程的线性化方法。

1. 瞬态响应示例

在连续流动搅拌釜的研究中，常通过注入惰性示踪剂来测试混合行为。例如，有一个体积 $V_1 = 4 m^3$ 的搅拌釜，入口流量 $Q = 0.02 m^3/s$，入口处惰性物质浓度 $C_{in} = 1 gmol/m^3$。为测试混合情况，将示踪剂浓度在 10 秒内提升至 $6 gmol/m^3$，形成矩形脉冲输入。

• 模型方程 ：连续流动搅拌釜且无化学反应的模型方程为 $V_1\frac{dC_1}{dt} = Q (C_{in} - C_1)$，用空间时间 $\tau_1$ 表示为 $\tau_1\frac{dC_1}{dt} = C_{in} - C_1$，其中 $\tau_1 = \frac{V_1}{Q} = \frac{4}{0.02} = 200 s$。
• 稳态分析 ：稳态时，$0 = C_{in}^s - C_1^s$。定义偏差变量 $C_1’ = C_1 - C_1^s$ 和 $C_{in}’ = C_{in} - C_{in}^s$，可得 $\tau_1\frac{dC_1’}{dt} = C_{in}’ - C_1’$，初始条件 $C_1’(0) = 0$。进一步改写为 $\tau_1\frac{dC_1’}{dt} + C_1’ = C_{in}’$。
• 拉普拉斯变换