康托展开

最新推荐文章于 2025-04-04 21:06:03 发布

mc_dl

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分类专栏：数论-数学

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本文介绍了一种用于压缩存储排列的方法——康托展开，并通过实例解释其工作原理。康托展开可以显著减少存储空间需求，例如将9的全排列从8亿多减少到362880种。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

康托展开...第一遍看到这个名称的时候我是一脸懵逼的...（康托？康熙几世孙？)

其实它的主要作用就是压缩判重量...

举个简单的栗子...我们要判断的内容实质是9的全排列...

如果直接开数组就是[123456789..987654321]（当然如果你倔强地要从0开始我也不拦着...）

一算8亿多，炸内存...预计威力达到学校机房烂掉...

我知道热爱世界和平并且希望有个好成绩的你不会愿意这样子的...

仔细想想其中有很多是浪费掉的，比如198307177这种有重复数字的，不可能出现...

所以康托展开就横空出世了...

公式是这个样子...

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

它求得的实际上是某个排列数的编号...

比如123456789对应的是0，123456798对应的是1，987654321对应的是362879...

这样的话就剩下9!=362880种，存储空间还可以留一部分给你住...（开玩笑...）

具体原理跟那个NOIP2014普及第四题的火星人中“求下一个排列数”类似...

康托展开就是把那一题倒了一下，从求第n个排列数变成了求某个排列数是第几个...

上文引用自洛谷一篇题解P2578
公式:

x 的 编 码 = \sum i = 1 n (a i - b i - 1) \times (n - i)!

$x的编码=\sum_{i=1}^n (a_i-b_i-1)\times(n-i)!$

给出代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 10
using namespace std;
int a[N],n,c[N];
bool b[N];
int Contor(int x){
    int num=0,cnt,ans=0;
    while(x!=0){
        a[++num]=x%10;
        x/=10;
    }
    for(int i=num;i>=1;i--){
        cnt=0;
        for(int j=num;j>=i+1;j--)if(a[j]<a[i])cnt++;
        ans+=(a[i]-cnt-1)*c[i-1];
    }
    return ans;
}
void dfs(int x,int y){
    if(x==n+1){
        printf("%d %d\n",y,Contor(y));
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!b[i]){
            b[i]=1;
            dfs(x+1,y*10+i);
            b[i]=0;
        }
    }
}
int main(){
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=9;i++)c[i]=c[i-1]*i;
    scanf("%d",&n);
    dfs(1,0);
}