64. 最小路径和

描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

思路

动态规划。和第62题类似的地图，但这次要求的是路径和最小的值是多少。和它同样的思路，dp数组表示的就是在第[i][j]位置的最小路径和的值。要到达第[i][j]个格子有两种方案，从第[i-1][j]个格子或第[i][j-1]个格子走过来。但哪种才是最小的呢，就需要从二者判断最小的值，再加上自己本身的路径数值，就是总的路径值了。列出状态转移方程：
dp[i][j] = min{dp[i-1][j] ,dp[i][j-1] } + val[i][j]。
考虑初始值：对于最左边的一列格子，每个格子只能由其上方的格子走过来；对于最上面的一行格子，每个格子只能由其左边的格子走过来，所以左边一列格子和上边一列格子的的最短路径和是已知的。

解答

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));//建立二维数组
        //初始值
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1; i<m; ++i) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];//初始化最左1列
        for(int j=1; j<n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];//初始化最上1行
        //状态转移方程
        for(int i=1; i<m; ++i)
            for(int j=1; j<n; ++j){
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + grid[i][j];
            }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};