62. 不同路径

描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

思路

也是一道用动态规划来解决的问题，和跳台阶的题目差不多，只不过放在了二维的空间中。下面开始思考动态规划数组的含义：由于终点只能通过终点上面和终点左边的格子走过来，所以到达终点的走法就是由到达终点上方格子的走法 + 到达终点左边的格子的走法，数组表示的含义就是到第[i][j]个格子的走法有多少种，写出状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。由于格子最左边一列的格子只能由上面走过来，最上面一行的格子只能由左边走过来，所以到达这两个边界的格子都只有一种走法，将其初始化为1。

解答

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int> > dp(m, vector<int>(n));
        //设置初始值，防止越界
        for(int i=0; i<m; ++i) dp[i][0] = 1;
        for(int i=0; i<n; ++i) dp[0][i] = 1;

        for(int i=1; i<m; ++i)
            for(int j=1; j<n; ++j)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        return dp[m-1][n-1];
    }
};