【状态估计】基于卡尔曼滤波器和扩展卡尔曼滤波器用于 INSGNSS 导航、目标跟踪和地形参考导航研究附Matlab代码

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在现代定位、导航与授时 (PNT) 领域，精确且可靠的状态估计是实现高性能系统的关键。随着技术的发展和应用需求的提升，单一导航系统的局限性日益凸显。例如，惯性导航系统 (INS) 具有自主性强、短时精度高、输出平滑等优点，但在长时间工作时会产生累积误差；而全球卫星导航系统 (GNSS) 尽管能够提供全球范围内的绝对位置信息，但在信号遮挡、干扰或多径效应等复杂环境下性能会显著下降。因此，将 INS 和 GNSS 进行组合，利用各自的优势互补，成为提高导航精度和鲁棒性的重要途径。同时，在目标跟踪和地形参考导航等领域，同样面临着在存在噪声和不确定性的观测数据中，准确估计系统状态的挑战。

卡尔曼滤波器 (Kalman Filter, KF) 和扩展卡尔曼滤波器 (Extended Kalman Filter, EKF) 作为最优线性无偏估计算法和其非线性扩展，在处理带有噪声的动态系统状态估计问题上展现出了卓越的性能，已成为 INS/GNSS 组合导航、目标跟踪和地形参考导航等领域的经典且广泛应用的技术。本文将深入探讨卡尔曼滤波器和扩展卡尔曼滤波器在这些领域的应用，分析其原理、优势与挑战，并对未来的研究方向进行展望。

第一章 卡尔曼滤波器 (KF) 的原理及其在状态估计中的应用基础

1.1 卡尔曼滤波器的基本原理

卡尔曼滤波器是一种递归的、实时的估计算法，适用于处理线性动态系统，通过融合带有噪声的测量数据，对系统状态进行最优估计。其核心思想在于利用系统的动态模型和传感器观测模型，以最小化均方误差为准则，对状态进行预测和校正。

卡尔曼滤波器由五个核心方程组成：

卡尔曼滤波器假设系统是线性的，且过程噪声和测量噪声都是高斯白噪声。在满足这些假设的情况下，卡尔曼滤波器能够提供最优的线性无偏估计。

1.2 卡尔曼滤波器在状态估计中的应用基础

卡尔曼滤波器之所以能够广泛应用于状态估计，得益于其以下优点：

• 实时性:

   卡尔曼滤波器是一种递归算法，可以在接收到新的测量数据后立即进行更新，适用于实时系统。

• 鲁棒性:

   通过融合多源信息，卡尔曼滤波器能够有效抑制噪声和不确定性，提高估计的鲁棒性。

• 最优性 (对于线性系统):

   在满足高斯噪声和线性系统假设的前提下，卡尔曼滤波器能够提供最小均方误差估计。

然而，卡尔曼滤波器严格要求系统模型是线性的。在实际应用中，许多系统的动态模型或测量模型是非线性的，这时直接应用卡尔曼滤波器会导致估计结果出现偏差甚至发散。

第二章 扩展卡尔曼滤波器 (EKF) 的原理及其在非线性状态估计中的应用

2.1 扩展卡尔曼滤波器的基本原理

为了解决卡尔曼滤波器在非线性系统中的局限性，扩展卡尔曼滤波器 (EKF) 被提出。EKF 的核心思想是对非线性系统模型和测量模型进行一阶泰勒展开，将其近似为线性系统，然后在近似的线性化模型上应用卡尔曼滤波器。

2.2 EKF 在非线性状态估计中的优势与挑战

EKF 通过线性化处理，使得卡尔曼滤波器能够应用于非线性系统，极大地扩展了其应用范围。然而，EKF 也存在一些挑战：

• 线性化误差:

   EKF 是基于一阶泰勒展开的近似，当系统非线性程度较高时，线性化误差会增大，可能导致估计精度下降甚至发散。

• 雅可比矩阵的计算:

   需要计算非线性函数的雅可比矩阵，这对于复杂的非线性函数来说可能比较困难，或者计算量较大。

• 初始状态和协方差的选取:

   EKF 对初始状态和协方差的选取比较敏感，不合适的初始值可能导致滤波失败。

尽管存在挑战，EKF 因其相对简单的实现和良好的性能，仍然是处理非线性状态估计问题的常用方法之一。

第三章 基于 KF/EKF 的 INS/GNSS 组合导航研究

INS/GNSS 组合导航是卡尔曼滤波器和扩展卡尔曼滤波器最典型的应用之一。INS 能够提供连续的、高频率的姿态、速度和位置信息，但存在漂移误差；GNSS 能够提供绝对的、无累积误差的位置和速度信息，但更新频率较低，且易受环境影响。将两者进行有效融合，可以实现优势互补，提高导航系统的精度、可靠性和鲁棒性。

3.1 INS/GNSS 组合导航系统结构

INS/GNSS 组合导航系统通常采用松耦合、紧耦合或深耦合结构。

• 松耦合:

   INS 和 GNSS 分别独立解算，然后将 GNSS 的位置和速度作为 INS 状态估计的测量值输入到滤波器中进行校正。这种结构简单易实现，但当 GNSS 信号丢失时，滤波器将无法进行测量更新。

• 紧耦合:

   直接利用 GNSS 原始观测值（如伪距、伪距率）作为测量值输入到滤波器中，滤波器将 INS 输出的导航信息作为 GNSS 原始观测值的预测值。这种结构在 GNSS 信号较弱或部分可用时仍能进行有效滤波，提高了系统的鲁棒性。

• 深耦合:

   更紧密的融合方式，将 INS 输出的导航信息直接用于 GNSS 信号的跟踪和处理，进一步提高系统在复杂环境下的性能。

在 INS/GNSS 组合导航中，通常将 INS 的误差状态作为滤波器的状态向量进行估计，例如姿态误差、速度误差、位置误差、陀螺仪零偏和加速度计零偏等。

3.2 基于 KF/EKF 的 INS/GNSS 组合导航实现

根据不同的系统结构，可以选择基于 KF 或 EKF 进行融合。

• 基于 EKF 的松耦合 INS/GNSS 组合导航:

   在松耦合结构中，INS 的误差状态动力学模型通常是线性的或可以近似为线性，而 GNSS 提供的导航信息作为测量值，与 INS 误差状态之间存在线性关系。因此，可以直接使用 EKF 来估计 INS 的误差状态。状态向量通常包括 INS 的姿态误差（如误角）、速度误差、位置误差，以及陀螺仪和加速度计的零偏。测量向量通常包括 GNSS 解算出的位置和速度与 INS 解算出的位置和速度之间的差值。

• 基于 EKF 的紧耦合 INS/GNSS 组合导航:

   在紧耦合结构中，GNSS 原始观测值（如伪距）与 INS 误差状态之间的关系通常是非线性的，需要使用 EKF 进行处理。状态向量与松耦合类似，但测量向量为 GNSS 原始观测值（如伪距、伪距率）。测量模型是将 INS 导航信息转化为 GNSS 原始观测值的预测值，这个转化过程通常是非线性的。例如，基于 INS 预测的位置和速度，可以计算出到卫星的伪距预测值和伪距率预测值。

INS 误差状态的传播通常是非线性的，但当误差较小时可以进行线性化处理。因此，在大多数 INS/GNSS 组合导航中，EKF 是常用的滤波器类型。

3.3 KF/EKF 在 INS/GNSS 组合导航中的优势与挑战

优势：

• 提高精度:

   通过融合 INS 和 GNSS 信息，有效抑制了 INS 的漂移误差和 GNSS 的测量噪声，提高了导航精度。

• 增强鲁棒性:

   在 GNSS 信号受阻或干扰时，INS 能够提供短时的精确导航信息，提高了系统的鲁棒性。

• 提供连续输出:

   即使在 GNSS 信号中断时，INS 仍能提供连续的导航信息。

挑战：

• 非线性问题:

   对于紧耦合结构，GNSS 原始观测值与 INS 误差状态之间的关系是非线性的，EKF 的线性化误差会影响估计精度。

• 噪声协方差矩阵的准确性:

   准确确定过程噪声和测量噪声的协方差矩阵是影响滤波性能的关键，但实际中往往难以精确获取。

• 系统模型的不确定性:

   INS 的误差模型以及传感器零偏等参数存在不确定性，影响滤波效果。

• 计算复杂度:

   EKF 需要计算雅可比矩阵和矩阵求逆，对于高维状态系统，计算量较大。

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