【状态估计】基于UKF法、AUKF法、EUKF法电力系统三相状态估计研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

摘要: 电力系统状态估计是现代电网监控与安全运行的关键技术，其目标是根据实时量测信息，精确地确定电网的运行状态，为调度决策和控制提供基础数据。传统的状态估计方法，如加权最小二乘法(WLS)，对非线性系统存在局限性，而基于卡尔曼滤波(KF)及其变种的状态估计方法，能更好地处理电力系统的非线性特性。本文针对电力系统三相状态估计问题，深入研究了基于Unscented Kalman Filter (UKF)、Adaptive Unscented Kalman Filter (AUKF)以及Extended Unscented Kalman Filter (EUKF) 的状态估计方法，并分析了各自的优势与不足。通过对比仿真实验结果，验证了三种方法在三相状态估计中的有效性，并探讨了其在实际应用中的可行性。

关键词: 电力系统状态估计; Unscented Kalman Filter; Adaptive Unscented Kalman Filter; Extended Unscented Kalman Filter; 三相状态估计; 非线性系统

1. 引言

电力系统是复杂的非线性动态系统，其安全可靠运行至关重要。状态估计(State Estimation, SE)作为电力系统监控和控制的核心功能，通过处理实时量测数据，精确地估计系统的状态变量，如节点电压幅值和相角。这些状态变量为电力系统的稳定性分析、潮流计算、故障诊断和优化控制等应用提供了可靠的依据。

传统的加权最小二乘法(Weighted Least Square, WLS)是电力系统状态估计中最常用的方法。然而，WLS方法基于泰勒级数展开，在处理强非线性问题时会引入较大的误差，特别是当测量误差较大或系统运行状态发生剧烈变化时。随着智能电网的发展，电力系统的复杂性日益增加，新能源接入、分布式电源以及各种智能终端的广泛应用使得系统呈现出更强的非线性特性。因此，传统WLS方法的局限性日益凸显，亟需更先进的状态估计方法来适应现代电力系统的需求。

卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)及其变种是解决非线性状态估计问题的有效手段。KF通过递归的方式，利用系统模型和量测信息，不断修正状态变量的估计值，从而实现对系统状态的追踪。然而，标准的KF算法只适用于线性系统。为了应对电力系统的非线性特性，人们提出了多种扩展的KF算法，其中最常用的包括Extended Kalman Filter (EKF)、Unscented Kalman Filter (UKF) 以及Cubature Kalman Filter (CKF) 等。

EKF采用泰勒级数线性化非线性系统模型，虽然实现简单，但存在线性化误差带来的问题，特别是在非线性程度较高的情况下，容易导致滤波发散。UKF则利用Unscented Transformation (UT) 变换，选取一组Sigma点来近似状态变量的概率分布，避免了线性化带来的误差，在非线性处理方面优于EKF。然而，UKF的性能很大程度上依赖于过程噪声和量测噪声的准确先验信息。在实际电力系统中，噪声统计特性往往是未知的，且可能随时间变化。因此，如何自适应地调整UKF的参数，以适应不同运行工况下的噪声变化，成为了一个重要的研究方向。

本文将重点研究基于UKF、Adaptive UKF (AUKF) 和 Extended UKF (EUKF) 的电力系统三相状态估计方法。首先，对三种方法的原理进行详细阐述，然后，构建电力系统三相状态估计模型，并在仿真环境下对三种方法的性能进行对比分析。最后，讨论三种方法在实际电力系统应用中的可行性。

2. 基于卡尔曼滤波的状态估计理论

2.1 标准卡尔曼滤波(KF)

KF是一种递归估计方法，它利用系统模型和量测信息来不断修正状态变量的估计值。KF适用于线性高斯系统，其基本流程包括预测和更新两个步骤。

预测步骤:
- 状态预测: 𝑥^𝑘∣𝑘−1=𝐹𝑘−1𝑥^𝑘−1∣𝑘−1+𝐵𝑘−1𝑢𝑘−1x^k∣k−1=Fk−1x^k−1∣k−1+Bk−1uk−1
- 协方差预测: 𝑃𝑘∣𝑘−1=𝐹𝑘−1𝑃𝑘−1∣𝑘−1𝐹𝑘−1𝑇+𝑄𝑘−1Pk∣k−1=Fk−1Pk−1∣k−1Fk−1T+Qk−1
更新步骤:
- 卡尔曼增益: 𝐾𝑘=𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇(𝐻𝑘𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇+𝑅𝑘)−1Kk=Pk∣k−1HkT(HkPk∣k−1HkT+Rk)−1
- 状态更新: 𝑥^𝑘∣𝑘=𝑥^𝑘∣𝑘−1+𝐾𝑘(𝑧𝑘−𝐻𝑘𝑥^𝑘∣𝑘−1)x^k∣k=x^k∣k−1+Kk(zk−Hkx^k∣k−1)
- 协方差更新: 𝑃𝑘∣𝑘=(𝐼−𝐾𝑘𝐻𝑘)𝑃𝑘∣𝑘−1Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1

其中，𝑥^𝑘∣𝑘x^k∣k 表示k时刻的状态变量估计值， 𝑃𝑘∣𝑘Pk∣k 表示状态变量估计值的协方差， 𝑧𝑘zk 表示k时刻的量测值，𝐹𝑘Fk 表示状态转移矩阵， 𝐻𝑘Hk 表示量测矩阵， 𝑄𝑘Qk 表示过程噪声协方差， 𝑅𝑘Rk 表示量测噪声协方差，𝑢𝑘uk 表示控制输入， 𝐵𝑘Bk 表示控制输入矩阵。

2.2 扩展卡尔曼滤波(EKF)

EKF是KF在非线性系统中的一种扩展，它通过对非线性系统模型进行线性化来近似非线性函数。

假设非线性系统模型如下：

状态方程: 𝑥𝑘=𝑓(𝑥𝑘−1,𝑢𝑘−1,𝑤𝑘−1)xk=f(xk−1,uk−1,wk−1)
量测方程: 𝑧𝑘=ℎ(𝑥𝑘,𝑣𝑘)zk=h(xk,vk)

其中，𝑓(⋅)f(⋅) 和 ℎ(⋅)h(⋅) 是非线性函数，𝑤𝑘wk 和 𝑣𝑘vk 分别是过程噪声和量测噪声。

EKF的预测和更新步骤与KF类似，但需要对非线性函数进行线性化，即计算雅可比矩阵。

预测步骤:
- 状态预测: 𝑥^𝑘∣𝑘−1=𝑓(𝑥^𝑘−1∣𝑘−1,𝑢𝑘−1,0)x^k∣k−1=f(x^k−1∣k−1,uk−1,0)
- 协方差预测: 𝑃𝑘∣𝑘−1=𝐹𝑘−1𝑃𝑘−1∣𝑘−1𝐹𝑘−1𝑇+𝑄𝑘−1Pk∣k−1=Fk−1Pk−1∣k−1Fk−1T+Qk−1

其中，𝐹𝑘−1Fk−1 是 𝑓(⋅)f(⋅) 在 𝑥^𝑘−1∣𝑘−1x^k−1∣k−1 处的雅可比矩阵。

更新步骤:
- 卡尔曼增益: 𝐾𝑘=𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇(𝐻𝑘𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇+𝑅𝑘)−1Kk=Pk∣k−1HkT(HkPk∣k−1HkT+Rk)−1
- 状态更新: 𝑥^𝑘∣𝑘=𝑥^𝑘∣𝑘−1+𝐾𝑘(𝑧𝑘−ℎ(𝑥^𝑘∣𝑘−1,0))x^k∣k=x^k∣k−1+Kk(zk−h(x^k∣k−1,0))
- 协方差更新: 𝑃𝑘∣𝑘=(𝐼−𝐾𝑘𝐻𝑘)𝑃𝑘∣𝑘−1Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1

其中，𝐻𝑘Hk 是 ℎ(⋅)h(⋅) 在 𝑥^𝑘∣𝑘−1x^k∣k−1 处的雅可比矩阵。

EKF的优点是实现简单，计算量较小。然而，由于线性化误差的存在，EKF在处理强非线性问题时可能会导致精度下降甚至滤波发散。

2.3 Unscented Kalman Filter (UKF)

UKF采用Unscented Transformation (UT) 变换来近似状态变量的概率分布，避免了EKF中的线性化过程。UT变换通过选取一组Sigma点来代表状态变量的分布，然后将这些Sigma点通过非线性函数进行传播，最后根据传播后的Sigma点来估计状态变量的均值和协方差。

UKF的步骤如下：

Sigma点生成:
- 𝜒0=𝑥^𝑘−1∣𝑘−1χ0=x^k−1∣k−1
- 𝜒𝑖=𝑥^𝑘−1∣𝑘−1+((𝑛+𝜆)𝑃𝑘−1∣𝑘−1)𝑖χi=x^k−1∣k−1+((n+λ)Pk−1∣k−1)i
  , i = 1, ..., n
- 𝜒𝑖=𝑥^𝑘−1∣𝑘−1−((𝑛+𝜆)𝑃𝑘−1∣𝑘−1)𝑖−𝑛χi=x^k−1∣k−1−((n+λ)Pk−1∣k−1)i−n
  , i = n+1, ..., 2n
- 设状态变量的维度为n，则生成2n+1个Sigma点：
- 其中，𝜆=𝛼2(𝑛+𝜅)−𝑛λ=α2(n+κ)−n， 𝛼α 控制Sigma点在均值周围的分布，通常取值范围为 $10^{-4} \leq \alpha \leq 1，，\kappa$ 是一个缩放因子，通常设置为0。
时间更新 (预测步骤):
- 𝑊0𝑚=𝜆/(𝑛+𝜆)W0m=λ/(n+λ)
- 𝑊0𝑐=𝜆/(𝑛+𝜆)+(1−𝛼2+𝛽)W0c=λ/(n+λ)+(1−α2+β)
- 𝑊𝑖𝑚=𝑊𝑖𝑐=1/(2(𝑛+𝜆))Wim=Wic=1/(2(n+λ))
  , i = 1, ..., 2n
- 𝑃𝑘∣𝑘−1=∑𝑖=02𝑛𝑊𝑖𝑐(𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑥^𝑘∣𝑘−1)(𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑥^𝑘∣𝑘−1)𝑇+𝑄𝑘−1Pk∣k−1=∑i=02nWic(χk∣k−1,i−x^k∣k−1)(χk∣k−1,i−x^k∣k−1)T+Qk−1
- 𝑥^𝑘∣𝑘−1=∑𝑖=02𝑛𝑊𝑖𝑚𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖x^k∣k−1=∑i=02nWimχk∣k−1,i
- 𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖=𝑓(𝜒𝑖,𝑢𝑘−1,0)χk∣k−1,i=f(χi,uk−1,0)
- 将Sigma点通过状态方程进行传播：
- 计算状态预测值：
- 计算协方差预测值：
- 其中，𝑊𝑖𝑚Wim 和 𝑊𝑖𝑐Wic 是权重系数，计算公式如下：
- 𝛽β 是一个与状态变量的先验分布相关的系数，当先验分布为高斯分布时，通常设置为2。
量测更新 (更新步骤):
- 𝑃𝑘∣𝑘=𝑃𝑘∣𝑘−1−𝐾𝑘𝑆𝑘𝐾𝑘𝑇Pk∣k=Pk∣k−1−KkSkKkT
- 𝑥^𝑘∣𝑘=𝑥^𝑘∣𝑘−1+𝐾𝑘(𝑧𝑘−𝑧^𝑘∣𝑘−1)x^k∣k=x^k∣k−1+Kk(zk−z^k∣k−1)
- 𝐾𝑘=𝑃𝑥𝑧,𝑘𝑆𝑘−1Kk=Pxz,kSk−1
- 𝑃𝑥𝑧,𝑘=∑𝑖=02𝑛𝑊𝑖𝑐(𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑥^𝑘∣𝑘−1)(𝑍𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑧^𝑘∣𝑘−1)𝑇Pxz,k=∑i=02nWic(χk∣k−1,i−x^k∣k−1)(Zk∣k−1,i−z^k∣k−1)T
- 𝑆𝑘=∑𝑖=02𝑛𝑊𝑖𝑐(𝑍𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑧^𝑘∣𝑘−1)(𝑍𝑘∣𝑘−1,𝑖−𝑧^𝑘∣𝑘−1)𝑇+𝑅𝑘Sk=∑i=02nWic(Zk∣k−1,i−z^k∣k−1)(Zk∣k−1,i−z^k∣k−1)T+Rk
- 𝑧^𝑘∣𝑘−1=∑𝑖=02𝑛𝑊𝑖𝑚𝑍𝑘∣𝑘−1,𝑖z^k∣k−1=∑i=02nWimZk∣k−1,i
- 𝑍𝑘∣𝑘−1,𝑖=ℎ(𝜒𝑘∣𝑘−1,𝑖,0)Zk∣k−1,i=h(χk∣k−1,i,0)
- 将Sigma点通过量测方程进行传播：
- 计算量测预测值：
- 计算量测残差协方差：
- 计算交叉协方差：
- 计算卡尔曼增益：
- 状态更新：
- 协方差更新：

UKF的优点是不需要计算雅可比矩阵，能够更好地处理非线性问题，精度高于EKF。然而，UKF的性能依赖于过程噪声和量测噪声的准确信息，在实际应用中，噪声统计特性往往是未知的，因此，需要对UKF进行改进，使其具有自适应调整参数的能力。

2.4 Adaptive Unscented Kalman Filter (AUKF)

AUKF是在UKF的基础上，引入了噪声统计特性自适应估计机制，使其能够根据实际的量测信息，动态地调整过程噪声和量测噪声的协方差，从而提高状态估计的精度和鲁棒性。

常用的AUKF方法包括基于残差的自适应滤波、基于协方差匹配的自适应滤波以及基于Bayes准则的自适应滤波等。本文以基于残差的自适应滤波为例进行说明。

基于残差的AUKF方法通过分析量测残差的统计特性来估计噪声协方差。量测残差定义为：

𝑒𝑘=𝑧𝑘−𝑧^𝑘∣𝑘−1ek=zk−z^k∣k−1

理论上，如果KF正常工作，量测残差应该服从均值为0的高斯分布，其协方差为：

𝑆𝑘=𝐸[𝑒𝑘𝑒𝑘𝑇]=𝐻𝑘𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇+𝑅𝑘Sk=E[ekekT]=HkPk∣k−1HkT+Rk

然而，在实际应用中，由于模型误差、噪声统计特性未知等原因，量测残差的统计特性可能与理论值存在偏差。AUKF通过估计实际的残差协方差，并根据偏差来调整噪声协方差。

常用的残差协方差估计方法包括：

滑动窗口法:
利用过去一段时间内的残差样本来估计残差协方差。
指数加权法:
利用指数加权平均的方式来平滑残差序列，从而获得更加稳定的残差协方差估计。

具体步骤如下：

残差计算: 计算量测残差 𝑒𝑘=𝑧𝑘−𝑧^𝑘∣𝑘−1ek=zk−z^k∣k−1
残差协方差估计: 使用滑动窗口或指数加权法估计残差协方差 𝑆^𝑘S^k. 例如，使用指数加权法： 𝑆^𝑘=𝛾𝑆^𝑘−1+(1−𝛾)𝑒𝑘𝑒𝑘𝑇S^k=γS^k−1+(1−γ)ekekT, 其中 𝛾γ 是遗忘因子，取值范围为 0 < 𝛾γ < 1。
噪声协方差调整: 根据残差协方差的估计值来调整过程噪声协方差 𝑄𝑘Qk 和量测噪声协方差 𝑅𝑘Rk。常用的调整策略包括：
- 量测噪声协方差调整:
  𝑅𝑘=𝑆^𝑘−𝐻𝑘𝑃𝑘∣𝑘−1𝐻𝑘𝑇Rk=S^k−HkPk∣k−1HkT
- 过程噪声协方差调整:
  𝑄𝑘=𝐾𝑘𝑆^𝑘𝐾𝑘𝑇Qk=KkS^kKkT, 或者使用更复杂的调整策略。
UKF滤波: 使用更新后的噪声协方差进行UKF滤波。

AUKF能够自适应地调整噪声协方差，从而提高状态估计的精度和鲁棒性，特别是在噪声统计特性未知或时变的情况下。

3. 基于UKF、AUKF、EUKF的电力系统三相状态估计模型

3.1 电力系统三相状态估计模型

电力系统三相状态估计的目标是根据量测信息，估计各个节点的电压幅值和相角。三相状态估计与单相状态估计的主要区别在于，三相状态估计需要考虑三相电压和电流的不平衡性，因此，状态变量和量测变量都需要用三相复数表示。

状态变量:
节点电压的复数表示： 𝑉𝑖=𝑉𝑎𝑖𝑒𝑗𝜃𝑎𝑖Vi=Vaiejθai, 𝑉𝑏𝑖𝑒𝑗𝜃𝑏𝑖Vbiejθbi, 𝑉𝑐𝑖𝑒𝑗𝜃𝑐𝑖Vciejθci, 其中 𝑉𝑎𝑖,𝑉𝑏𝑖,𝑉𝑐𝑖Vai,Vbi,Vci 分别是A相、B相、C相的电压幅值，𝜃𝑎𝑖,𝜃𝑏𝑖,𝜃𝑐𝑖θai,θbi,θci 分别是A相、B相、C相的电压相角。通常，选择平衡节点A相电压的相角作为参考相角，即 𝜃𝑎1=0θa1=0。
量测变量:
可以包括节点电压幅值、支路电流幅值、注入功率等，这些量测变量都是复数形式，并且与状态变量存在非线性关系。

假设电力系统共有N个节点，则状态变量的维度为 6N-1。

量测方程可以表示为：

𝑧=ℎ(𝑥)+𝑣z=h(x)+v

其中，𝑧z 是量测向量，𝑥x 是状态向量，ℎ(𝑥)h(x) 是非线性量测函数，𝑣v 是量测噪声。

量测函数 ℎ(𝑥)h(x) 的具体形式取决于量测变量的类型。例如，注入功率的量测函数可以表示为：

𝑆𝑖=𝑉𝑖∗∑𝑗=1𝑁𝑌𝑖𝑗𝑉𝑗Si=Vi∗∑j=1NYijVj

其中，𝑆𝑖Si 是节点i的注入功率，𝑌𝑖𝑗Yij 是节点i和节点j之间的导纳矩阵。

3.2 基于UKF、AUKF、EUKF的状态估计流程

将UKF、AUKF、EUKF应用于电力系统三相状态估计，其基本流程如下：

初始化:
设置状态变量的初始估计值 𝑥^0x^0 和初始协方差矩阵 𝑃0P0，以及过程噪声协方差 𝑄0Q0 和量测噪声协方差 𝑅0R0。
时间更新 (预测步骤):
- 利用历史状态估计值和状态方程，预测当前时刻的状态变量估计值。
- 计算状态变量估计值的协方差矩阵。
- 对于UKF和AUKF，需要生成Sigma点并进行UT变换。对于EUKF，需要计算雅可比矩阵。
量测更新 (更新步骤):
- 利用量测方程和当前时刻的量测值，更新状态变量的估计值。
- 计算状态变量估计值的协方差矩阵。
- 对于AUKF，需要根据量测残差的统计特性，自适应地调整过程噪声协方差和量测噪声协方差。
迭代:
重复步骤2和步骤3，直到状态估计值收敛或达到最大迭代次数。

4. 仿真结果与分析

为了验证基于UKF、AUKF和EUKF的三相状态估计方法的有效性，本文构建了一个简单的6节点电力系统模型进行仿真。

系统参数:
6节点电力系统模型，节点电压标幺值1.0，线路参数以及负荷数据已知。
量测配置:
在各个节点配置电压幅值量测，在各个支路配置电流幅值量测以及首端和末端的功率量测。量测量总数大于状态变量数，保证可观性。
仿真平台:
MATLAB
评价指标:
状态估计误差 (State Estimation Error, SEE)，定义为估计值与真实值的均方根误差 (RMSE)。

仿真结果:

不同噪声水平下的状态估计误差:
仿真分别在不同的量测噪声水平下进行，对比三种方法的状态估计误差。结果显示，在低噪声水平下，三种方法的性能相近，但随着噪声水平的提高，UKF和AUKF的性能优于EKF。AUKF由于能够自适应地调整噪声协方差，在噪声水平较高的情况下，能够获得更精确的状态估计结果。
不同初始状态误差下的状态估计误差:
仿真设置不同的初始状态误差，对比三种方法的收敛速度和精度。结果显示，三种方法都能收敛到真实值附近，但UKF和AUKF的收敛速度更快，且最终的估计精度更高。
动态状态估计:
仿真模拟系统负荷发生变化的情况，对比三种方法的动态状态估计性能。结果显示，AUKF能够更快地跟踪系统状态的变化，且估计精度更高。

仿真分析: