【信号去噪】非线性卡尔曼滤波器 - 扩展EKF、中心差分CDKF、无迹卡尔曼滤波器UKF附matlab代码

最新推荐文章于 2025-07-15 13:14:20 发布

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🔥 内容介绍

卡尔曼滤波器作为一种强大的状态估计工具，在信号处理、控制工程、机器人导航等领域得到了广泛的应用。然而，经典卡尔曼滤波器基于线性高斯假设，对于非线性系统和非高斯噪声的处理能力有限。为了应对实际应用中普遍存在的非线性问题，研究者们提出了多种非线性卡尔曼滤波器，其中最具代表性的包括扩展卡尔曼滤波器（EKF）、中心差分卡尔曼滤波器（CDKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）。本文将深入探讨这三种非线性卡尔曼滤波器的原理、特点、优缺点，并对其在信号去噪领域的应用进行比较分析。

一、非线性卡尔曼滤波器的必要性与挑战

现实世界中的许多系统都具有非线性特性，例如车辆的运动模型、传感器测量方程等。当系统模型呈现非线性时，使用经典卡尔曼滤波器进行状态估计会引入较大的误差，甚至导致滤波器发散。这是因为经典卡尔曼滤波器将非线性函数线性化，从而忽略了高阶项的影响。此外，噪声分布也可能并非高斯分布，例如脉冲噪声、泊松噪声等。非高斯噪声也会影响经典卡尔曼滤波器的性能。

为了解决上述问题，需要发展适用于非线性系统和非高斯噪声的卡尔曼滤波器。非线性卡尔曼滤波器的核心挑战在于如何有效地近似非线性函数的变换以及噪声的分布。不同的非线性卡尔曼滤波器采用了不同的近似方法，从而产生了不同的性能表现和计算复杂度。

二、扩展卡尔曼滤波器 (EKF)：基于泰勒展开的线性化

EKF是应用最广泛的非线性卡尔曼滤波器之一。其基本思想是通过泰勒展开将非线性函数在当前估计状态附近线性化，然后利用经典卡尔曼滤波器的框架进行状态估计。具体来说，EKF首先将状态转移函数和测量函数进行一阶泰勒展开，忽略高阶项，得到线性化的状态转移矩阵和测量矩阵。然后，利用线性化的矩阵进行预测和更新步骤，计算状态估计和误差协方差。

EKF的优点：

实现简单：
EKF的核心在于计算雅可比矩阵，对于简单的非线性函数，计算量相对较小。
计算效率较高：
由于采用了线性化的方法，计算复杂度与经典卡尔曼滤波器相当。

EKF的缺点：

线性化误差：
EKF仅使用一阶泰勒展开，忽略了高阶项的影响，导致线性化误差。当非线性程度较高时，误差会显著增大，甚至导致滤波器发散。
雅可比矩阵计算：
对于复杂的非线性函数，计算雅可比矩阵可能非常困难，需要人工推导或使用数值方法，增加了开发难度。
对初始值敏感：
由于采用了局部线性化的方法，EKF对初始状态估计的准确性要求较高。如果初始值偏离真实值太远，可能会导致线性化误差过大，影响滤波效果。

三、中心差分卡尔曼滤波器 (CDKF)：基于中心差分法的近似

CDKF是一种改进的非线性卡尔曼滤波器，旨在减少EKF中的线性化误差。CDKF利用中心差分法来近似非线性函数的雅可比矩阵，避免了手动计算雅可比矩阵的繁琐过程。具体来说，CDKF通过在当前估计状态附近选取多个采样点，利用这些采样点的信息来估计状态转移函数和测量函数的偏导数，从而得到近似的雅可比矩阵。

CDKF的优点：

避免手动计算雅可比矩阵：
CDKF利用中心差分法自动计算雅可比矩阵，简化了开发过程。
精度高于EKF：
中心差分法可以更准确地近似非线性函数的导数，从而减少线性化误差，提高滤波精度。
鲁棒性较强：
相对于EKF，CDKF对初始状态估计的敏感性较低，具有更强的鲁棒性。

CDKF的缺点：

计算复杂度较高：
CDKF需要计算多个采样点处的非线性函数值，计算复杂度高于EKF。
采样点选择：
CDKF的性能受到采样点选择方法的影响。需要合理选择采样点的位置和数量，以获得最佳的滤波效果。

四、无迹卡尔曼滤波器 (UKF)：基于Unscented变换的统计线性化

UKF是一种更先进的非线性卡尔曼滤波器，它采用Unscented变换来近似非线性函数的统计特性。UKF的核心思想是选择一组Sigma点，这些点可以代表状态变量的概率分布。通过将这些Sigma点代入非线性函数进行变换，可以得到变换后的Sigma点，然后利用这些变换后的Sigma点来近似变换后的概率分布。

UKF的优点：