【数学建模】2023 年全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)试题 A题A 题定日镜场的优化设计附matlab代码

matlab科研助手

于 2025-04-11 16:15:00 发布

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文章标签：数学建模 matlab 开发语言

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🔥 内容介绍

2023年全国大学生数学建模竞赛A题，以“定日镜场的优化设计”为题，将实际工程问题转化为数学建模的典型场景。该问题要求参赛者针对太阳能热发电（Concentrated Solar Power, CSP）站的核心组成部分——定日镜场，建立数学模型，并设计优化策略，以最大化电站的发电效率。该问题的复杂性在于涉及几何光学、热力学、优化算法等多个学科的交叉融合，对参赛者的综合建模能力提出了较高要求。本文将深入剖析该问题的核心要点，从模型构建、策略分析、算法选择等方面进行详细讨论，并探讨可能的优化方向。

一、问题分析与建模基础

A题的核心目标是确定定日镜场中每一面定日镜的位置和角度，使得在特定时间段内，尽可能多的太阳辐射能量能够聚焦到位于塔顶的吸热器上。因此，建模的重点在于准确描述定日镜、太阳、吸热器三者之间的几何关系，并在此基础上计算光线的反射路径和能量传递效率。

几何关系建模：
- 坐标系建立：
  需要建立一个三维坐标系，以便于描述定日镜、太阳和吸热器的位置。通常以塔底中心为原点，地面为x-y平面，垂直于地面的方向为z轴。
- 位置向量：
  用位置向量分别表示太阳、定日镜和吸热器的位置。太阳的位置随时间和季节变化，可以通过太阳高度角和方位角计算得到。定日镜的位置需要作为优化变量。吸热器的位置是固定的，通常位于塔顶。
- 镜面法向量：
  定日镜的镜面法向量决定了太阳光反射的方向。需要根据太阳、定日镜和吸热器的位置向量，计算出正确的镜面法向量，使得反射光线能够指向吸热器。
- 阴影遮挡：
  需要考虑定日镜之间的阴影遮挡效应。如果一面定日镜被其他定日镜遮挡，则无法反射太阳光，这会降低电站的发电效率。
光线跟踪与能量计算：
- 反射定律：
  光线反射遵循反射定律，即入射角等于反射角，入射光线、反射光线和镜面法向量在同一平面内。
- 透射率与反射率：
  考虑定日镜的透射率和反射率，这会影响能量的传递效率。
- 大气衰减：
  太阳光在穿过大气层时会发生衰减，需要考虑大气衰减的影响。
- 接收功率：
  计算到达吸热器的光功率，这取决于定日镜的面积、反射率、大气衰减以及光线与吸热器表面的夹角。
优化目标与约束条件：
- 定日镜的位置必须在预先设定的区域内。
- 定日镜之间的距离必须满足一定的要求，以避免碰撞。
- 定日镜的倾角和偏角必须在一定的范围内。
- 满足稳定性约束，防止倾倒。
- 优化目标：
  最大化在特定时间段内吸热器接收到的总能量。这可以通过积分计算，例如将一天划分为多个时间段，分别计算每个时间段的接收功率，然后对所有时间段的接收功率进行积分。
- 约束条件：

二、优化策略与算法选择

构建好数学模型后，下一步是选择合适的优化策略和算法，以寻找最优的定日镜布局。由于定日镜场的优化设计是一个复杂的非线性优化问题，传统的解析方法难以求解，因此通常采用数值优化算法。

优化策略：
- 区域划分：
  将定日镜场划分为多个区域，例如圆形区域或者扇形区域。在每个区域内，定日镜的位置可以采用规则排列或者随机排列。
- 分组优化：
  将定日镜分成多个组，例如按照距离塔的远近进行分组。可以先优化距离塔较近的定日镜，然后再优化距离塔较远的定日镜。
- 逐步优化：
  先确定部分定日镜的位置，然后逐步添加新的定日镜，并不断优化已有的定日镜位置。
算法选择：
- 遗传算法 (Genetic Algorithm, GA)：
  遗传算法是一种基于生物进化原理的全局优化算法。它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，不断迭代进化，最终找到最优解。遗传算法的优点是鲁棒性强，不容易陷入局部最优解。但缺点是计算量大，收敛速度慢。
- 粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimization, PSO)：
  粒子群优化算法是一种基于鸟群觅食行为的全局优化算法。它通过模拟鸟群的飞行轨迹，不断迭代寻找最优解。粒子群优化算法的优点是简单易懂，计算量较小，收敛速度较快。但缺点是容易陷入局部最优解。
- 模拟退火算法 (Simulated Annealing, SA)：
  模拟退火算法是一种基于金属退火原理的全局优化算法。它通过模拟金属降温的过程，不断迭代寻找最优解。模拟退火算法的优点是能够跳出局部最优解，找到全局最优解。但缺点是参数调整比较复杂，收敛速度慢。
- 梯度下降法 (Gradient Descent)：
  梯度下降法是一种常用的局部优化算法。它通过计算目标函数的梯度，沿着梯度方向下降，最终找到局部最优解。梯度下降法的优点是计算量小，收敛速度快。但缺点是容易陷入局部最优解，对初始值敏感。
- 混合优化算法：
  可以将多种优化算法结合起来，例如先使用遗传算法进行全局搜索，然后再使用梯度下降法进行局部优化。这种混合优化算法可以充分利用各种算法的优点，提高优化效果。

在选择优化算法时，需要根据问题的特点进行综合考虑。对于复杂的定日镜场优化问题，通常需要采用全局优化算法或者混合优化算法，以避免陷入局部最优解。同时，还需要根据计算资源和时间限制，选择合适的算法参数，以保证算法的收敛速度和精度。

三、优化模型的改进与拓展

在基本模型的基础上，可以考虑一些改进和拓展，以提高模型的准确性和实用性。

更精确的光学模型：
- 高斯光束模型：
  考虑到太阳并不是一个点光源，可以采用高斯光束模型来模拟太阳光。
- 镜面误差：
  实际的定日镜表面存在误差，会影响光线的反射方向。可以考虑镜面误差的影响。
- 吸热器特性：
  吸热器的吸收率并不是恒定的，它会随着温度和光照强度的变化而变化。可以考虑吸热器特性的影响。
更复杂的环境因素：
- 天气变化：
  实际的太阳辐射强度会受到天气变化的影响，例如云层的遮挡。可以考虑天气变化的影响。
- 地形因素：
  定日镜场通常建设在地形复杂的地区，地形因素会影响定日镜的布局和阴影遮挡。可以考虑地形因素的影响。
- 维护成本：
  定日镜的维护需要一定的成本，例如清洗和更换。可以考虑维护成本的影响。
多目标优化：
- 除了最大化吸热器接收到的总能量，还可以考虑其他的优化目标，例如最小化定日镜的成本，最大化电站的发电稳定性。
- 采用多目标优化算法，例如NSGA-II，找到多个Pareto最优解，供决策者选择。