【路径规划】基于改进遗传算法求解MTSP 【旅行推销员问题 （TSP）、多旅行推销员问题 （M-TSP） 】 附Matlab代码

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🔥 内容介绍

旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem，TSP）和多旅行推销员问题（Multiple Traveling Salesman Problem，M-TSP）是经典的组合优化问题，在物流配送、交通运输、电路设计等领域有着广泛的应用。TSP的核心在于寻找访问所有给定城市并最终返回起始城市的最短路径，而M-TSP则是在TSP的基础上引入多个推销员，要求每个推销员从同一出发点出发，访问若干城市，且所有城市都被访问到，目标同样是最小化总的旅行成本。解决这类问题的复杂性随着城市数量的增加呈指数增长，属于NP-hard问题，因此寻求高效的优化算法至关重要。

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）作为一种模拟自然选择和遗传机制的搜索算法，具有全局搜索能力强、鲁棒性好等优点，已被广泛应用于求解TSP和M-TSP问题。然而，标准遗传算法在求解复杂TSP和M-TSP问题时，往往存在收敛速度慢、易陷入局部最优解等问题。因此，本文将探讨基于改进遗传算法求解M-TSP问题，并兼论TSP问题的求解，深入分析各种改进策略，旨在提升算法的性能和效率。

一、TSP与M-TSP问题的数学模型

首先，我们对TSP和M-TSP问题进行数学建模，以便后续算法设计和分析。

1. TSP问题的数学模型:

假设有n个城市，城市之间的距离用矩阵D = [d_ij]表示，其中d_ij表示城市i到城市j的距离。目标是找到一个包含所有城市的排列π = (π₁, π₂, …, π_n)，使得总旅行距离最短。可以表示为：

Minimize: ∑_i=1^n-1 d_{πi, πi+1} + d_{πn, π1}

约束条件: π_i ∈ {1, 2, …, n}, π_i ≠ π_j for i ≠ j

2. M-TSP问题的数学模型:

假设有n个城市，m个推销员，城市之间的距离用矩阵D = [d_ij]表示。假设推销员都从城市1出发。定义二元变量x_ijk：

x_ijk = 1, 如果推销员k从城市i到城市j
x_ijk = 0, 否则

目标函数可以表示为：

Minimize: ∑_i=1ⁿ ∑_j=1ⁿ ∑_k=1^m d_ij * x_ijk

约束条件：

• 每个城市（除了起点）必须被一个推销员访问一次：
  ∑_i=1ⁿ ∑_k=1^m x_ijk = 1, for j = 2, 3, …, n

• 每个推销员必须从起点出发：
  ∑_j=2ⁿ x_1jk = 1, for k = 1, 2, …, m

• 每个推销员必须回到起点：
  ∑_i=2ⁿ x_i1k = 1, for k = 1, 2, …, m

• 保证每个推销员的路线连续性（即流入一个城市的推销员必须从该城市流出）：
  ∑_i=1ⁿ x_ijk = ∑_j=1ⁿ x_jik, for k = 1, 2, …, m; j = 2, 3, …, n

• 防止出现子回路：
  ∑_i∈S ∑_j∈S x_ijk ≤ |S| - 1, for all S ⊆ {2, 3, …, n}, k = 1, 2, …, m, where |S| is the cardinality of S. (This constraint is often implemented implicitly in the decoding process).

二、标准遗传算法求解TSP/M-TSP问题

标准遗传算法求解TSP/M-TSP问题通常包含以下几个步骤：

1. 编码 (Encoding): 将问题的解空间映射为遗传算法能够处理的染色体形式。对于TSP，通常采用基于路径的编码方式，例如使用城市序列表示一条访问路径。对于M-TSP，则需要将多个推销员的路径整合到一条染色体中，例如可以采用分段染色体，每一段代表一个推销员的路线。

2. 初始化 (Initialization): 随机生成一定数量的染色体，构成初始种群。初始种群的多样性对于算法的全局搜索能力至关重要。

3. 适应度函数 (Fitness Function): 用于评价染色体的优劣程度。对于TSP/M-TSP问题，适应度函数通常是总旅行距离的倒数，距离越短，适应度越高。

4. 选择 (Selection): 根据染色体的适应度，选择一部分染色体进入下一代。常见的选择方法包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。适应度高的染色体更有可能被选择，从而保证种群的进化方向。

5. 交叉 (Crossover): 对选中的染色体进行交叉操作，产生新的染色体。交叉操作旨在将不同染色体的优良基因进行组合，从而产生更优的解。常用的交叉算子包括部分匹配交叉（Partially Mapped Crossover，PMX）、顺序交叉（Order Crossover，OX）等。

6. 变异 (Mutation): 对染色体进行变异操作，引入新的基因。变异操作旨在增加种群的多样性，避免算法陷入局部最优解。常用的变异算子包括交换变异、逆转变异等。

7. 终止条件 (Termination Condition): 判断算法是否达到终止条件。常见的终止条件包括达到最大迭代次数、达到预定的适应度阈值等。

三、改进遗传算法求解M-TSP问题

虽然标准遗传算法可以用于求解M-TSP问题，但在面对复杂问题时，其性能往往不尽如人意。为了提升算法的性能和效率，需要对标准遗传算法进行改进。以下列举几种常见的改进策略：

1. 更优的编码策略： 编码策略直接影响算法的搜索效率。针对M-TSP，可以使用更精细的编码方式，例如基于分组的编码方式，将城市划分为不同的组，每个组由一个推销员负责。这种编码方式能够更好地利用问题本身的结构信息，减少搜索空间。另一种有效的编码是基于优先级编码，染色体代表城市访问的优先级，再根据城市间的距离和推销员的数量，构建每个推销员的路径。

2. 自适应交叉和变异概率： 固定的交叉和变异概率难以适应算法进化过程中的不同阶段。自适应交叉和变异概率可以根据种群的适应度分布动态调整。例如，当种群的适应度趋于一致时，可以适当提高变异概率，增加种群的多样性。当种群的适应度差异较大时，可以适当降低变异概率，保持种群的优良特性。常见的自适应策略是基于适应度的调整，例如，适应度高的个体采用较低的变异概率，以保留其优良特性；适应度低的个体采用较高的变异概率，以增加其变异的可能性。

3. 局部搜索算子的引入： 遗传算法的全局搜索能力较强，但局部搜索能力相对较弱。可以将局部搜索算子（例如2-opt、3-opt等）嵌入到遗传算法中，在每一代进化后，对最优的染色体进行局部搜索，以进一步优化解的质量。这种混合算法可以充分发挥遗传算法的全局搜索能力和局部搜索算子的局部优化能力，从而获得更好的求解效果。

4. 精英策略的运用： 精英策略是指将每一代种群中最优的个体直接复制到下一代种群中，以保证最优解不会丢失。精英策略可以有效地防止算法退化，提高算法的收敛速度。

5. 启发式初始化： 随机初始化种群可能会导致算法的收敛速度较慢。可以采用一些启发式算法（例如最近邻算法、插入算法等）生成初始种群，从而提高算法的初始解质量，加快算法的收敛速度。

6. 染色体修复机制： 在交叉和变异操作后，可能会产生不合法的染色体（例如，某个城市被多个推销员访问，或者某个推销员的路线不连续）。因此，需要设计染色体修复机制，将不合法的染色体转化为合法的染色体。

7. 多种群遗传算法： 将种群划分为多个子种群，每个子种群独立进化，并通过迁移操作进行信息交流。多种群遗传算法可以有效地提高算法的全局搜索能力，避免算法陷入局部最优解。不同子种群可以采用不同的交叉和变异策略，从而增加种群的多样性。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 王贵用,周尔民.基于改进遗传算法的堆栈调度策略"水蜘蛛"路径规划[J].现代制造工程, 2019(1):38-42.

[2] 谢胜利,唐敏,董金祥.求解TSP问题的一种改进的遗传算法[J].计算机工程与应用, 2002, 38(8):4.DOI:10.3321/j.issn:1002-8331.2002.08.021.

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