【数据驱动】数据驱动动态系统分析的流形学习Matlab实现

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🔥 内容介绍

摘要: 动态系统分析旨在理解和预测系统随时间的演化规律。传统方法通常依赖于已知的系统模型，然而，许多实际应用中的系统过于复杂，难以建立精确的数学模型。数据驱动方法，特别是基于流形学习的分析方法，为解决这一难题提供了新的途径。本文将深入探讨数据驱动动态系统分析中流形学习的应用，分析其优势、挑战以及未来的研究方向。

引言: 随着传感器技术和数据存储能力的飞速发展，我们能够获取越来越多的高维数据，这为理解复杂动态系统提供了前所未有的机会。然而，这些数据通常具有高维性、非线性性和噪声的特点，直接分析存在诸多困难。流形学习作为一种强大的降维技术，通过挖掘数据内在的低维结构，能够有效地简化数据分析过程，并揭示隐藏在高维数据背后的规律。在数据驱动动态系统分析中，流形学习能够有效地提取系统的低维动力学特征，从而构建简洁有效的系统模型，并进行预测和控制。

流形学习的基本原理: 流形学习的核心思想是假设高维数据点实际分布在一个低维流形上，该流形反映了数据内在的几何结构。通过非线性降维技术，例如等距映射(Isomap)、局部线性嵌入(LLE)、拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps)等，可以将高维数据点映射到低维空间，同时尽可能保持数据点间的几何关系。这些算法的核心在于寻找合适的映射函数，该函数能够将高维数据点投影到低维空间，并最大程度地保留数据点间的局部或全局结构信息。 例如，Isomap利用测地距离来计算数据点间的距离，从而捕捉到流形的非线性结构；LLE则假设每个数据点可以由其邻域点线性表示，从而保留局部线性结构；拉普拉斯特征映射则利用图的拉普拉斯矩阵来捕捉数据点的全局结构信息。

流形学习在数据驱动动态系统分析中的应用: 在数据驱动动态系统分析中，流形学习主要应用于以下几个方面：

1. 降维与特征提取: 高维数据通常包含大量冗余信息和噪声，直接进行分析会降低效率并影响结果的准确性。流形学习能够有效地将高维数据降维到低维空间，去除冗余信息，并提取出系统的关键特征。这些提取出的特征能够更好地反映系统的动力学行为，从而简化后续的建模和分析过程。

2. 动力学模型构建: 在获得低维表示后，可以利用各种模型构建方法，例如递归神经网络(RNN)、支持向量机(SVM)等，建立系统的动力学模型。由于低维表示已经去除了冗余信息，因此构建的模型通常具有较高的效率和泛化能力。 此外，低维动力学模型能够更清晰地展现系统的内在机制，方便进行可解释性分析。

3. 异常检测与故障诊断: 在低维空间中，异常数据点往往更容易被识别。通过监测低维表示的轨迹，可以有效地进行异常检测和故障诊断。 流形学习能够有效地将异常数据点从正常数据点中分离出来，从而提高故障诊断的准确性和效率。

4. 控制与预测: 基于构建的低维动力学模型，可以进行系统的预测和控制。 由于低维模型具有较高的计算效率，因此可以进行实时预测和控制，满足实际应用的需求。

挑战与未来研究方向:

尽管流形学习在数据驱动动态系统分析中展现出巨大的潜力，但也面临一些挑战：

1. 流形维数的选择: 流形维数的选择直接影响着降维结果的质量。目前，尚缺乏一种通用的方法来确定最佳的流形维数。

2. 算法的计算复杂度: 一些流形学习算法，特别是处理大规模数据集时，计算复杂度较高。 需要开发更高效的算法来解决这一问题。

3. 噪声和缺失数据: 实际数据通常包含噪声和缺失数据，这会影响流形学习的性能。 需要开发更鲁棒的流形学习算法来处理噪声和缺失数据。

4. 非平稳系统: 许多实际系统是非平稳的，其动力学特性随时间变化。 如何应用流形学习分析非平稳系统仍然是一个重要的研究课题。

未来的研究方向包括：开发更高效、更鲁棒的流形学习算法，研究流形学习与其他数据驱动方法的结合，探索流形学习在不同类型动态系统中的应用，以及发展适用于非平稳系统的流形学习方法等。

结论: 数据驱动动态系统分析的流形学习为理解和预测复杂动态系统提供了一种有效的途径。 通过挖掘数据内在的低维结构，流形学习能够有效地简化数据分析过程，并提高模型的效率和泛化能力。 尽管仍然存在一些挑战，但随着技术的不断发展，流形学习将在数据驱动动态系统分析中发挥越来越重要的作用，推动着该领域的研究不断进步。

📣 部分代码

% Plot state trajectory:

figure

plot(theta(:,1),theta(:,2),'k')

grid on; axis equal

xlabel('$$x_1$$','Interpreter','latex','FontSize',16)

ylabel('$$x_2$$','Interpreter','latex','FontSize',16)

%% Constrcut diffusion maps with the modified mahalanobis distance

% Compute the modified mahalanobis distance for the (noisy) measurements:

mahDist       = modified_mahalanobis(yM);

% Compute diffusion maps coordinates and eigenvalues:

[psi, lambda] = diffusion_maps(mahDist, DMdim);

%% DMK framework:

⛳️ 运行结果

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2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

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2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

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