【数据分析】基于物理信息的动态模式分解 (piDMD) 方法研究Matlab实现

原创于 2025-01-06 22:31:12 发布 · 1k 阅读

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#数据分析 #matlab #数据挖掘

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🔥 内容介绍

本论文将深入探讨基于物理信息的动态模式分解 (Physics-informed Dynamic Mode Decomposition, piDMD) 方法。该方法通过将先验物理知识融入动态模式分解 (Dynamic Mode Decomposition, DMD) 算法中，有效地解决了传统 DMD 方法在处理噪声数据、避免过拟合以及尊重物理规律方面存在的不足。本文将详细阐述 piDMD 的理论基础、优化策略以及在实际应用中的优势，并结合相关代码进行深入分析。

一、动态模式分解 (DMD) 方法回顾

动态模式分解 (DMD) 是一种数据驱动的方法，其核心在于将高维数据降维到少数几个具有时空一致性的模式，并识别出能够最佳地表示这些数据的线性算子。具体而言，DMD 通过对数据矩阵进行奇异值分解 (SVD) 等线性代数操作，提取出主要的动态模式及其对应的特征值，从而揭示系统内部的动力学特性。

然而，经典的 DMD 方法存在一些显著的缺陷：

对噪声敏感: 经典 DMD 方法高度依赖于数据的质量，即使是微小的噪声也可能导致结果的显著偏差，影响其准确性和可靠性。
容易过拟合: 当数据维度较高且样本数量较少时，经典 DMD 模型容易发生过拟合，导致其泛化能力较差。
不满足物理规律: 经典 DMD 方法纯粹基于数据驱动，缺乏对系统物理机制的考虑，所得出的模型可能与实际物理规律相违背。

二、基于物理信息的动态模式分解 (piDMD) 方法

为了克服经典 DMD 方法的不足，piDMD 方法提出将先验物理知识融入 DMD 算法中，以提高其鲁棒性和物理一致性。该方法将 DMD 的优化问题重新表述为一个带约束的 Procrustes 问题：

其中，X 和 Y 分别为数据矩阵，A 为待求解的线性算子，M 为由用户指定的矩阵流形。矩阵流形 M 体现了对系统物理知识的约束，它限定了 A 必须满足特定的物理规律。通过将 A 限制在 M 上，piDMD 方法有效地避免了违反物理定律的情况。

该优化问题是一个 Procrustes 问题，其求解方法有很多，例如基于梯度下降法的迭代优化算法。通过选择合适的矩阵流形 M，例如对称矩阵、正定矩阵或满足特定偏微分方程的矩阵等，piDMD 方法能够有效地将先验物理知识融入到模型中。

三、 piDMD 方法的优势及应用

与经典 DMD 方法相比，piDMD 方法具有以下显著优势：

提高鲁棒性: 通过引入物理约束，piDMD 方法能够有效地降低噪声的影响，提高对噪声数据的适应能力。
避免过拟合: 物理约束能够限制模型的复杂度，有效地防止过拟合现象的发生。
保证物理一致性: piDMD 方法生成的模型能够满足已知的物理规律，更符合实际系统的物理机制。

piDMD 方法在流体力学、热力学、声学等领域具有广泛的应用前景。例如，在流体力学中，可以利用 piDMD 方法对湍流等复杂流场进行建模，提取出具有物理意义的动态模式；在热力学中，可以利用 piDMD 方法对传热过程进行分析，识别出主要的传热机制。

四、代码实现及分析

文中提到的代码库提供了多种矩阵流形的 piDMD 实现，例如针对平移不变系统的实现。这些代码通过高效的数值算法，实现了对公式 (1) 的求解，并能够处理大规模数据集。通过分析这些代码，我们可以深入理解 piDMD 方法的具体实现细节，并将其应用于实际问题。

五、总结与展望

piDMD 方法作为一种结合数据驱动和物理建模的混合方法，为复杂系统的动力学分析提供了一种新的思路。其在提高模型鲁棒性、避免过拟合以及保证物理一致性方面具有显著优势。未来，piDMD 方法的研究方向可以包括：开发更有效的优化算法，探索更广泛的矩阵流形，以及将其应用于更多复杂的物理系统。对不同矩阵流形的选择以及优化算法的效率研究将会是进一步提升 piDMD 方法的关键。此外，将 piDMD 方法与深度学习等先进技术相结合，也可能为复杂系统的建模和分析带来新的突破。

📣 部分代码

% Construct linearised energy inner product

W(1,1) = (m1/2+m2/2)*g*l1;

W(2,2) = m2/2*g*l2;

W(3,3) = (m1/2+m2/2)*l1^2;

W(4,3) = m2/2*l1*l2;

W(3,4) = W(4,3);

W(4,4) = m2/2*l2^2;

C = chol(W); % Calculate inner product

% Set number of samples and span

tend = 30; nt = 1000;

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] Physics-informed dynamic mode decomposition (piDMD) Peter J. Baddoo, Benjamin Herrmann, Beverley J. McKeon, Nathan J. Kutz & Steven L. Brunton, arXiv:2112.04307

[2] Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data Peter J. Schmid, J. Fluid Mech., vol. 656, pp. 5–28, 2010.