【光学】基于matlab实现弹性FDTD二维波传播

本文详细介绍了如何使用FDTD方法解决二维弹性波的传播问题,包括理论推导、边界条件处理和实际计算实现,通过数值算例验证了其准确性和效率,适用于地震学、声学等领域。

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🔥 内容介绍

摘要

本文介绍了弹性有限差分时域 (FDTD) 方法用于求解二维弹性波传播问题的理论和实现。该方法将弹性波动方程离散化为一组有限差分方程,并使用显式时间积分方案求解。本文详细介绍了 FDTD 方法的推导、边界条件的处理和计算的实现。数值算例验证了该方法的准确性和效率。

引言

弹性波传播在许多科学和工程领域中具有重要的应用,例如地震学、声学和非破坏性检测。求解弹性波传播问题需要考虑介质的弹性特性,如杨氏模量、泊松比和密度。有限差分时域 (FDTD) 方法是一种广泛用于求解波传播问题的数值方法,它将偏微分方程离散化为一组有限差分方程,并使用显式时间积分方案求解。

FDTD 方法的推导

对于二维弹性介质,弹性波动方程为:

 

ρ∂²u/∂t² = (λ + 2μ)∇(∇·u) - μ∇²u

其中,ρ 为密度,λ 和 μ 分别为拉梅常数,u 为位移矢量。

FDTD 方法将空间和时间离散化为网格。记网格点 (i, j) 处的位移矢量为 u(i, j, t),则有限差分方程为:

 

ρ(u(i, j, t+Δt) - 2u(i, j, t) + u(i, j, t-Δt)) / Δt² =
(λ + 2μ)(∂(∂u/∂x)(i, j, t) / ∂x + ∂(∂u/∂y)(i, j, t) / ∂y) -
μ(∂²u/∂x²(i, j, t) + ∂²u/∂y²(i, j, t))

其中,Δt 为时间步长。

边界条件的处理

在求解波传播问题时,需要考虑边界条件。常见的边界条件包括:

  • 吸收边界条件: 吸收入射波,防止波在边界处反射。

  • 完美匹配层 (PML): 吸收入射波,且不会产生反射。

  • 周期性边界条件: 将计算区域视为周期性,即波在边界处会继续传播。

计算的实现

FDTD 方法的计算实现主要包括以下步骤:

  1. 初始化网格和边界条件。

  2. 根据初始条件计算位移矢量。

  3. 循环时间步长,更新位移矢量。

  4. 根据位移矢量计算应力张量。

  5. 可视化或分析计算结果。

📣 部分代码

% Simple FDTD seismic wave propagation in 2D elastic isotropic medium% %% We solve wave equation in time domain and displacement formulation% getting wavefield in terms of displacement vector [ux, uz].%% Elastic medium is parametrized by Lame parameters and density, we show% Courant condition and number of points per wavelength prior running %% loop over time steps.%% Conventional FD star-stencils deliver accuracy O(2,2)% [1 -2 1]/dx2 and [1 -1 -1 1]/4dxdz% --------------------------------------------------------------% The code is intentionally writen in a single file% to simplify start up.%% The program does not save any files, add such option manually if needed.% Drawing the wavefield is the most computationally demanding. Increase % IT_DISPLAY value to reduce output and accelerate computation.%% The goal is to provide a simple example of wave propagation% in elastic medium.%% --% --------------------------------------------------------------close all;clear all;% Output periodicity in time stepsIT_DISPLAY = 10;%% MODEL% Model dimensions, [m]nx = 401;

⛳️ 运行结果

本文介绍了弹性 FDTD 二维波传播的方法和实现。该方法能够准确高效地求解弹性波传播问题。数值算例验证了该方法的准确性和效率。该方法可用于研究各种弹性波传播现象,在地震学、声学和非破坏性检测等领域具有广泛的应用前景。

🔗 参考文献

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2 机器学习和深度学习方面

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN/TCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类
2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类
2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测
2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类
2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类
2.14 PNN脉冲神经网络分类
2.15 模糊小波神经网络预测和分类
2.16 时序、回归预测和分类
2.17 时序、回归预测预测和分类
2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类
方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断
2.图像处理方面
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4 无人机应用方面
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7 电力系统方面
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8 元胞自动机方面
交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀
9 雷达方面
卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合

%*********************************************************************** % 3-D FDTD code with PEC boundaries %*********************************************************************** % % Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@engr.wisc.edu % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator (充气矩形空腔谐振器) is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % % The computational domain is truncated using PEC boundary % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM ( 半最大值全宽度(full width at half maximum)) % spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution (分辨率) % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step (第一个时间步), and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. % %*********************************************************************** clear %*********************************************************************** % Fundamental constants %*********************************************************************** cc=2.99792458e8; %speed of light in free space muz=4.0*pi*1.0e-7; %permeability of free space epsz=1.0/(cc*cc*muz); %permittivity of free space %*********************************************************************** % Grid parameters %*********************************************************************** ie=50; %number of grid cells in x-direction je=24; %number of grid cells in y-direction ke=10; %number of grid cells in z-direction ib=ie+1; jb=je+1; kb=ke+1; is=26; %location of z-directed current source js=13; %location of z-directed current source kobs=5; dx=0.002; %space increment of cubic lattice dt=dx/(2.0*cc); %time step nmax=500; %total number of time steps %*********************************************************************** % Differentiated Gaussian pulse excitation %*********************************************************************** rtau=50.0e-12; tau=rtau/dt; ndelay=3*tau; srcconst=-dt*3.0e+11; %*********************************************************************** % Material parameters %*********************************************************************** eps=1.0; %相对介电常数 epsz,真空介电常数 sig=0.0; %相对电阻率 %*********************************************************************** % Updating coefficients %*********************************************************************** ca=(1.0-(dt*sig)/(2.0*epsz*eps))/(1.0+(dt*sig)/(2.0*epsz*eps)); cb=(dt/epsz/eps/dx)/(1.0+(dt*sig)/(2.0*epsz*eps)); da=1.0; db=dt/muz/dx; %*********************************************************************** % Field arrays %*********************************************************************** ex=zeros(ie,jb,kb); ey=zeros(ib,je,kb); ez=zeros(ib,jb,ke); hx=zeros(ib,je,ke); hy=zeros(ie,jb,ke); hz=zeros(ie,je,kb); %*********************************************************************** % Movie initialization %*********************************************************************** tview(:,:)=ez(:,:,kobs); sview(:,:)=ez(:,js,:); subplot('position',[0.15 0.45 0.7 0.45]), pcolor(tview'); %shading flat; %caxis([-1.0 1.0]); %colorbar; %axis image; title(['Ez(i,j,k=5), time step = 0']); xlabel('i coordinate'); ylabel('j coordinate'); subplot('position',[0.15 0.10 0.7 0.25]), pcolor(sview'); %shading flat; %caxis([-1.0 1.0]); %colorbar; %axis image; title(['Ez(i,j=13,k), time step = 0']); xlabel('i coordinate'); ylabel('k coordinate'); rect=get(gcf,'Position'); rect(1:2)=[0 0]; M=moviein(nmax/2,gcf,rect); %*********************************************************************** % BEGIN TIME-STEPPING LOOP %*********************************************************************** for n=1:nmax %*********************************************************************** % Update electric fields %*********************************************************************** ex(1:ie,2:je,2:ke)=ca*ex(1:ie,2:je,2:ke)+... cb*(hz(1:ie,2:je,2:ke)-hz(1:ie,1:je-1,2:ke)+... hy(1:ie,2:je,1:ke-1)-hy(1:ie,2:je,2:ke)); ey(2:ie,1:je,2:ke)=ca*ey(2:ie,1:je,2:ke)+... cb*(hx(2:ie,1:je,2:ke)-hx(2:ie,1:je,1:ke-1)+... hz(1:ie-1,1:je,2:ke)-hz(2:ie,1:je,2:ke)); ez(2:ie,2:je,1:ke)=ca*ez(2:ie,2:je,1:ke)+... cb*(hx(2:ie,1:je-1,1:ke)-hx(2:ie,2:je,1:ke)+... hy(2:ie,2:je,1:ke)-hy(1:ie-1,2:je,1:ke)); ez(is,js,1:ke)=ez(is,js,1:ke)+... srcconst*(n-ndelay)*exp(-((n-ndelay)^2/tau^2)); % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2) %*********************************************************************** % Update magnetic fields %*********************************************************************** hx(2:ie,1:je,1:ke)=hx(2:ie,1:je,1:ke)+... db*(ey(2:ie,1:je,2:kb)-ey(2:ie,1:je,1:ke)+... ez(2:ie,1:je,1:ke)-ez(2:ie,2:jb,1:ke)); hy(1:ie,2:je,1:ke)=hy(1:ie,2:je,1:ke)+... db*(ex(1:ie,2:je,1:ke)-ex(1:ie,2:je,2:kb)+... ez(2:ib,2:je,1:ke)-ez(1:ie,2:je,1:ke)); hz(1:ie,1:je,2:ke)=hz(1:ie,1:je,2:ke)+... db*(ex(1:ie,2:jb,2:ke)-ex(1:ie,1:je,2:ke)+... ey(1:ie,1:je,2:ke)-ey(2:ib,1:je,2:ke)); %*********************************************************************** % Visualize fields %*********************************************************************** if mod(n,2)==0; timestep=int2str(n); tview(:,:)=ez(:,:,kobs); sview(:,:)=ez(:,js,:); subplot('position',[0.15 0.45 0.7 0.45]), pcolor(tview'); % shading flat; % caxis([-1.0 1.0]); % colorbar; % axis image; title(['Ez(i,j,k=5), time step = ',timestep]); xlabel('i coordinate'); ylabel('j coordinate'); subplot('position',[0.15 0.10 0.7 0.25]), pcolor(sview'); % shading flat; % caxis([-1.0 1.0]); % colorbar; % axis image; title(['Ez(i,j=13,k), time step = ',timestep]); xlabel('i coordinate'); ylabel('k coordinate'); nn=n/2; M(:,nn)=getframe(gcf,rect); end; %*********************************************************************** % END TIME-STEPPING LOOP %*********************************************************************** end movie(gcf,M,0,10,rect);
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