基于有限差分法和追赶法解对角矩阵解二维热传导问题附matlab代码

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⛄ 内容介绍

对于有界热传导齐次方程的混合问题,用分离变量法求解往往很复杂.为了更好地理解热传导方程的解,使用MATLAB软件将方程的解用图像表示出来.通过区域转换的思想,利用MATLAB编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法,数值表明了方法的可行性和稳定性.

⛄ 部分代码

clc

clear;

%==========================================================================

% 尝试性使用有限差分法解决已知解问题

% 待解方程: u_t = （u_{xx} + u_{yy}）（0,pi）*（0,pi）*（0,1）

% 精确: 无

%==========================================================================

%设定边界a0<=x<=a1,b0<=y<=b1,t0<=t<=t1

a=1;

a0=0;a1=pi;

b0=0;b1=pi;

t0=0;t1=1;

%设定区域步长h及网比r，并计算时间步长tao

h=pi/20;r=1/pi^2;tao=r*h^2;

%计算总区域步数m，总时间步数n

m=20;n=(t1-t0)/tao;

%确定坐标范围

x=a0:h:a1;y=b0:h:b1;

%==========================================================================

%网格设置，初始条件

%==========================================================================

%根据边界条件，建立初始矩阵

u=ones(m+1,m+1); 

for i=1:m+1

    for j=1:m+1

        u(i,j) =sin(x(i));

    end

end

temp=u;

%==========================================================================

%确定差分格式P-R

diag_0=(1+r*a)*ones(m-1,1);

diag_1=(-r*a/2)*ones(m-2,1)';

u1=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_1,-1);

%确定差分格式P-R

diag1_0=(1+r*a)*ones(m+1,1);

diag1_1=(-r*a/2)*ones(m,1)';

u2=diag(diag1_0)+diag(diag1_1,1)+diag(diag1_1,-1);

%==========================================================================

%开始使用差分法解方程

d=zeros(m-1,1);

dd=zeros(m+1,1);

for s=1:n

    for k=2:m

        for j=1:m-1

            d(j)=r*a/2*(u(j,k)+u(j+2,k))+(1-r*a)*u(j+1,k);

        end

        u(2:m,k)=chase(u1,d);%使用追赶法

    end

    for j=2:m

        for k=2:m

            dd(k)=r*a/2*(u(j,k+1)+u(j,k-1))+(1-r*a)*u(j,k);

        end

        temp=chase(u2,dd);

        u(j,:)=temp';%使用追赶法

    end

end

%==========================================================================

figure(1); mesh(x,y,u')

title('数值解');

⛄ 运行结果

⛄ 参考文献

[1]史策. 热传导方程有限差分法的MATLAB实现[J]. 咸阳师范学院学报, 2009, 24(4):4.

⛳️ 完整代码

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