【SCI复现】径向基函数插值和配置问题的自适应残差子采样方法附Matlab代码

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🔥 内容介绍

径向基函数 (Radial Basis Function, RBF) 方法因其在高维空间插值和偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE) 数值解中的强大能力而受到广泛关注。然而，传统的 RBF 方法，尤其是全局支持的 RBF，在处理大规模问题时面临计算成本高昂、矩阵条件数恶化等挑战。本文旨在复现并深入探讨一种针对 RBF 插值和配置问题的自适应残差子采样方法。该方法的核心思想在于，在迭代过程中，通过分析当前解的残差分布，自适应地选择对精度贡献更大的子区域或点进行采样，从而有效降低计算复杂度，提高算法效率。本文首先回顾了 RBF 方法的基本原理及其在插值和配置问题中的应用。接着，详细阐述了自适应残差子采样方法的技术细节，包括残差的定义、采样策略的设计以及迭代过程的控制。通过具体的数值实验，将自适应残差子采样方法与传统 RBF 方法进行比较，评估其在计算效率、精度以及对问题规模的适应性等方面的优势。研究结果表明，自适应残差子采样方法能够在保证一定精度的前提下，显著降低计算量，为解决大规模 RBF 问题提供了一种有效的途径。

关键词： 径向基函数；插值；配置方法；偏微分方程；数值方法；自适应采样；残差；SCI复现

1. 引言

径向基函数作为一类特殊的函数基，其函数值仅取决于输入点到中心点的距离。这种空间不变性使得RBF方法在处理散乱数据插值和高维问题时具有独特的优势 [1, 2]。在插值问题中，RBF方法通过构造一个由若干RBF中心点和相应的系数线性组合而成的函数，使其能够精确通过已知数据点。在偏微分方程的数值求解中，基于RBF的配置方法（也称为RBF无网格方法）是一种有效的区域型或边界型数值方法 [3, 4]。其核心思想是将PDE的解近似为RBF的线性组合，然后通过在预先选择的配置点上强制满足方程和边界条件来确定系数。

尽管RBF方法具有很多优点，但在处理大规模问题时，特别是当RBF中心点或配置点数量很大时，其计算成本会急剧增加。传统的全局支持RBF方法需要求解一个大型线性方程组，其系数矩阵的维度与中心点或配置点的数量相同 [5]。矩阵求解通常需要O(N3)O(N3)的计算复杂度，其中NN为点的数量。此外，随着NN的增加，系数矩阵的条件数往往会迅速恶化，导致求解过程不稳定或需要高精度计算 [6]。为了克服这些挑战，研究人员提出了许多改进策略，例如局部支持RBF [7]、紧支RBF [8]、多尺度RBF [9]以及基于迭代方法的策略 [10]。

自适应采样策略是提高数值方法效率的另一个重要研究方向。其核心思想在于，不再在整个计算域上均匀或预先固定地选择计算点，而是根据问题的特性或当前计算状态动态地选择对结果贡献最大的点。在RBF方法中，自适应地选择RBF中心点或配置点可以有效地减少计算量，同时提高精度。一些研究工作已经探索了基于误差估计或梯度信息的自适应中心点选取策略 [11, 12]。

本文关注的是一种基于残差的自适应子采样方法，应用于RBF插值和配置问题。这种方法的核心在于，在迭代过程中，通过分析当前近似解在未采样点上的残差（即与真实解或方程的偏差），识别残差较大的区域或点，并在下一次迭代中优先采样这些区域或点。这样，计算资源可以更集中地用于改进精度较低的区域，从而在有限的计算资源下获得更好的整体精度。本文旨在复现并深入研究这种自适应残差子采样方法，探讨其技术细节、实现过程以及在不同问题中的表现。

2. 径向基函数方法概述

2.1 RBF 函数类型

2.2 RBF 插值问题

2.3 RBF 配置问题求解 PDE

3. 自适应残差子采样方法

自适应残差子采样方法的核心思想是在迭代过程中，根据当前近似解的残差信息，选择对精度影响较大的区域或点进行进一步采样。其基本流程如下：

3.1 残差的定义与计算

残差是衡量当前近似解与真实解或方程偏差的关键指标。

计算残差需要在未采样的候选点上评估当前近似解或其导数。这部分计算量与候选点集的规模相关。为了提高效率，候选点集 CC 可以是一个比总点数小但远大于当前采样点数的集合，或者在迭代过程中动态地扩大。

3.2 自适应采样策略

采样策略是自适应残差子采样方法的关键组成部分。其目标是从具有较大残差的候选点中选择下一轮迭代需要添加到采样点集的点。常用的采样策略包括：

基于残差大小的贪婪采样：
简单地选择残差绝对值最大的若干个点加入采样集。例如，每次选择 MM 个残差最大的点。
基于残差分布的区域采样：
将计算域划分为若干子区域，计算每个子区域内的平均残差或最大残差，选择残差较大的子区域内的点进行采样。这有助于捕捉误差集中区域。
基于残差梯度的采样：
分析残差的梯度信息，在残差变化剧烈的区域增加采样密度。这有助于捕捉函数变化较大的区域。
基于不确定性采样的集成：
结合其他不确定性度量，例如利用蒙特卡洛方法或高斯过程回归的不确定性估计，选择不确定性较高的点进行采样。
随机采样与残差采样的结合：
在基于残差采样的基础上，随机添加少量点，以避免陷入局部最优或遗漏某些区域。