【函数在x=0处连续：练习2】

【题目】求$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du$

【解答】$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du}{x^3}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{({\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du{)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}$ (洛必达法则)
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2\cdot (2x{)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}$（积分上限函数、复合函数求导）
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2\cdot 2}{3x^2}$
$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2}{x^2}$
$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2x{)}^2}{x^2}$ （等价无穷小替换）
$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{x^2}$
$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{\lim }4$
$=\frac{2}{3}\cdot 4$
$=\frac{8}{3}$