【函数在x=0处连续：练习1】

【题目】求$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du$

【解答】$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du}{x^2}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{({\int }_0^{2x}tan{u}^{2}du{)}^{\prime }}{(x^2{)}^{\prime }}$ (洛必达法则)
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2\cdot (2x{)}^{\prime }}{(x^2{)}^{\prime }}$（积分上限函数、复合函数求导）
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2\cdot 2}{2x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan(2x{)}^2}{x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2x{)}^2}{x}$ （等价无穷小替换）
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }(4x)$
$=0$