【求极限1】求当x的绝对值小于1时，(1+x)、(1+x的平方)、(1+x的四次方）、…、(1+x的2n次方）在n趋近于无穷大时的极限

题目：求当x的绝对值小于1时，(1+x)、(1+x的平方)、(1+x的四次方）、…、(1+x的2n次方）在n趋近于无穷大时的极限。

【解法1】根据平方差公式进行反向推导，可将所有整因式分别变形为分式，然后进行每邻近两分式的分母与分子的斜约分：
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }(1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2n})& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1-x^2)}{(1-x)}\cdot \frac{(1-x^4)}{(1-x^2)}\cdot \frac{(1-x^8)}{(1-x^4)}\cdot ...\cdot \frac{(1-x^{4n})}{(1-x^{2n})}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1-x^{4n})}{(1-x)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1-\stackrel{4n个}{\overbrace{x\cdot x\cdot x\cdot ...\cdot x}})}{(1-x)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1-无数多个绝对值小于1（即正负0点几）的数相乘越乘越接近0)}{(1-x)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1-0)}{(1-x)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1-x}（根据该分式与n无关可得最终结果见下行）\\ & =\frac{1}{1-x}\end{array}$$
但是，再细思一下有点问题，如果严格按符号来说，这个题应该分两种情况，n是正无穷大、负无穷大这两种，正无穷大时才是这个结果，负无穷大时，一个式子的负无穷大次方是它的正无穷大次方之后的倒数，也就是说在算的时候就会出现0（准确地说是指无穷小变量0而不是数字常数0）的倒数，也就是无穷大，从而得到最终结果是无穷大而不是(1-x)分之一，那么最终结果应该是不存在（因为n是正无穷大、负无穷大这两种情况的计算结果不一样，而极限必须是唯一确定的常数才是存在的）。

那么这个题有两种可能。如果这个题目出的没有问题，那么结果应该是回答“极限不存在”。如果这个题目的结果确定是(1-x)分之一，可能意味着这个题目出错了（应该将题目和计算过程中的所有的无穷大前面加一个正号）。当然，如果按照题目的次数规律假设默认按逐步增长那确实n是正的无穷大，那我们就不追究省略号内可能发生的翻转了哈，结果就是上述解法的结果：(1-x)分之一。