31、函数逼近中的唯一性与定量分析

函数逼近中的唯一性与定量分析

1. 唯一性结论与近最优逼近

在函数逼近的研究中，唯一性是一个重要的性质。对于函数 (f)，存在一些关于其逼近多项式的唯一性结论。例如，对于任意 (x)，有不等式：
[
\frac{1}{2}|f(x) - p_1(x)| + \frac{1}{2}|f(x) - p_2(x)| - |f(x) - p(x)| \geq 0
]
结合相关引理，可得对于任意 (x)，有：
[
|f(x) - p(x)| = \frac{1}{2}|f(x) - p_1(x)| + \frac{1}{2}|f(x) - p_2(x)|
]
由于 (p) 是 (f) 的最佳逼近，根据引理可知 (f - p) 至少有 (n + 1) 个零点。假设 (r) 是 (f - p) 的一个零点，则 (p_1(r) = f(r) = p_2(r))，进而可得 (p_1 - p_2) 恒为 (0)，即 (p_1 = p_2)。

当我们知道存在唯一逼近时，就可以进一步询问关于逼近的更详细的定量信息。这里引入了 (\epsilon -) 近最优逼近的概念：

定义 1 ：若对于任意 (q \in P_n)，都有 (|f - p|_1 < |f - q|_1 + \epsilon)，则称 (p \in P_n) 是 (f) 在 (P_n) 中的 (\epsilon -) 近最优逼近。

我们关心的一个问题是，(\epsilon -) 近最优逼近是否彼此接近。为此，我们寻找一个函数 (\varPhi_f)，使得如果 (p_1) 和 (p_2) 是 (\va