25、二阶逻辑片段的类型省略定理与模态逻辑拓展

二阶逻辑片段的类型省略定理与模态逻辑拓展

1. 二阶逻辑片段相关基础结论

在某些算术或集合论的可数模型拓展为更强理论的模型时，若原理论具备一定的理解能力，通常意味着在每个更强理论的模型中不会出现新的集合或更高类型的对象。例如，若某个算术或集合论的可数模型能拓展为具有更多类型的更强理论的模型，那么在该模型上并非已经是 $\Sigma_1^1$ 的集合或更高类型对象，无法在每个拓展到更强理论的模型中实现。

2. 模态逻辑基础

2.1 模态逻辑语言与结构

模态逻辑的语言 $L_{\square,\lozenge}$ 基于一阶语言 $L$，除了一些常量符号外，还包含模态运算符 $\square$ 和 $\lozenge$。结构由 Kripke 框架 $F = \langle W, S, {F(p)|p \in W}\rangle$ 表示，其中 $S$ 是集合 $W$ 上的二元关系，对于每个 $p \in W$，$F(p)$ 是 $L$ 在 $F(p)$ 上的一阶结构。

2.2 强制关系定义

强制关系 $p \Vdash \varphi$ 用于描述 $p \in W$ 与 $L$ 中的句子 $\varphi$ 之间的关系，通常通过对句子进行归纳定义。例如：
- 对于原子句子 $\varphi$ ，$p \Vdash \varphi$ 当且仅当 $F(p) \models \varphi$；
- $p \Vdash \varphi \land \psi$ 当且仅当 $p \Vdash \varphi$ 且 $p \Vdash \psi$；
- $p \Vdash \exists x\varp