21、阿什 - 奈特风格优先级构造的新游戏元定理解读

阿什 - 奈特风格优先级构造的新游戏元定理解读

在数学逻辑和可计算性理论的研究中，阿什 - 奈特风格的优先级构造是一个重要的研究方向。本文将深入探讨与之相关的新游戏元定理及其应用，包括游戏构造、结构对定理、线性序表示以及 $\Delta^0_{\eta}$ - 范畴性等内容。

1. 基本概念与游戏构造

在可计算性理论中，我们首先引入一些基本概念。设 $S_X^{\eta}$ 是一个 $\Sigma^0_{\eta}(X)$ 完备集，当 $\eta$ 为有限时，它是 $X^{(\eta)}$；当 $\eta$ 为无限时，它是 $X^{(\eta + 1)}$，其中 $\Phi_e$ 是第 $e$ 个图灵泛函。值得注意的是，任何形如 $\Phi_{e_0}^{S_X^{\eta}}(k_0), \Phi_{e_1}^{S_X^{\eta}}(k_1), \ldots, \Phi_{e_{\ell}}^{S_X^{\eta}}(e_{\ell})$ 的有限个问题都可以编码成一个单一问题。通过一个指标 $e$，使得 $\Phi_{e}^{S_X^{\eta}}(0)$ 输出一个编码元组 $\langle \Phi_{e_0}^{S_X^{\eta}}(k_0), \Phi_{e_1}^{S_X^{\eta}}(k_1), \ldots, \Phi_{e_{\ell}}^{S_X^{\eta}}(e_{\ell}) \rangle$ 的数。

接下来，我们介绍一种名为 $\eta - A$ 游戏的构造。这里，$\eta$ 是一个可计算的 $\omega$ - 表示的序数，读者在初次阅读时可以假设 $\eta = 1$，因为这个情况已经很有趣，且相关元定理仍然非常有用和有意义。设我们有一个结构