2、罗杰斯半格的初等理论：不可判定与可判定片段解析

罗杰斯半格的初等理论：不可判定与可判定片段解析

1. 问题引入

当 (m \geq 1)，且 (R) 为非平凡的罗杰斯 (\Sigma_1^m) 半格时，我们不禁思考：关于 (Th(R)) 片段的不可判定性，能得出怎样的结论呢？接下来将围绕这个问题展开深入探讨。

2. 预备知识

• 上半格理论 ：上半格通常被视为签名 (L_{usl} = { \leq, \vee }) 下的结构。对于上半格 (U)，存在两种理论：
  • (Th_{\leq, \vee}(U)) 是 (U) 在签名 (L_{usl}) 下的一阶理论。
  • (Th_{\leq}(U)) 是 (U) 在偏序签名 (L_{po} = { \leq }) 下的初等理论。
  • 若 (A) 是上半格，且 (a \leq_A b) 是 (A) 中的元素，那么区间 ([a; b]_A) 定义为 (({c \in A : a \leq_A c \leq_A b}; \leq_A, \vee_A))。
• 编号相关概念
  • 设 (\nu) 是族 (S_0) 的编号，(\mu) 是族 (S_1) 的编号。若 (\nu \leq \mu)，则 (S_0 \subseteq S_1)。当 (\nu \leq \mu) 且 (\mu \leq \nu) 时，编号 (\nu) 和 (\mu) 等价，记为 (\nu \equiv \mu)。族 (S_0 \cup S_1) 的编号 (\nu \oplus \m