3、罗杰斯半格与可计算枚举度的实现研究

罗杰斯半格与可计算枚举度的实现研究

1. 罗杰斯半格中Σ₁ - 句子的判定算法

1.1 问题引入

考虑签名为 {∨} 的Σ₁ - 句子 ψ：
[
\psi = \exists x_1\exists x_2 \cdots \exists x_n\varphi(x_1, x_2, \cdots, x_n)
]
其中 φ 是无量词公式。我们的目标是描述一个算法，用于检查句子 ψ 在罗杰斯半格 U 中是否为真。

1.2 公式预处理

• 去嵌套处理 ：原子公式在签名 {∨} 中若为以下两种形式之一则为去嵌套的：
  • (x = y)，其中 (x) 和 (y) 是变量；
  • (x \vee y = z)，其中 (x)，(y)，(z) 是变量。
    已知对于存在公式 θ((\overline{y}))，可以有效找到一个去嵌套的存在公式 θ′((\overline{y}))，它与 θ 逻辑等价。因此，不失一般性，假设公式 ψ 和 φ 都是去嵌套的。
• 转换为析取范式 ：将公式 φ((\overline{x})) 转换为其析取范式：
  [
  \varphi(\overline{x}) \sim \bigvee_{1\leq i\leq M} \varphi_i(\overline{x})
  ]
  其中每个 φᵢ 是去嵌套原子公式及其否定的合取。通常，对于每对 (j) 和 (k)（(1 \leq j < k