8、图灵机：计算理论的核心概念

图灵机：计算理论的核心概念

1. 图灵机简介

图灵机是一种理论计算模型，由英国数学家艾伦·图灵提出。其基本思想是将数学家视为一台机器，大脑中有一个有限状态机，并有无限量的纸张可供书写。正是这种无限的纸张（即有效的无界内存），使图灵机区别于有限状态机（FSM）。

有限状态机由于其定义的限制，缺乏无限的内存容量，因此无法解决某些问题，如括号检查、乘法等。而图灵机没有这个限制，虽然它所使用的纸张数量并非真正的无限，但在需要时可以不断添加，所以我们称其具有“无限”的内存。

1.1 图灵机的结构

图灵机可以用多种方式描述，常见的是设想一个具有有限个内部状态的小机器，在一条磁带上移动。这条磁带被划分为一个个单元格，每个单元格中可能包含一个符号。

图灵机的动作简单，类似于有限状态机：它从某个状态开始，查看一个单元格的内容。根据当前状态和单元格内容，它可能擦除单元格内容并写入新内容，或者保持单元格不变（为确保操作的一致性，我们将保持不变视为擦除并重新写入相同内容）。然后，它向左或向右移动一个单元格，并切换到一个新的内部状态。

1.2 图灵机与有限状态机的比较

图灵机与有限状态机有许多相似之处。它们都有内部状态，读取单元格内容类似于有限状态机的刺激，重写单元格内容和左右移动类似于有限状态机的响应。

不过，图灵机有一个重要特征，即它能够左右移动。可以证明，只能向一个方向移动的图灵机实际上就是有限状态机，具有有限状态机的所有局限性。

1.3 图灵机的行为描述

我们假设磁带只有有限部分有书写内容，磁带的两侧是空白的。我们首先告诉图灵机从哪里开始，这是在时