45、卡尔曼滤波器：原理、应用与实践

卡尔曼滤波器：原理、应用与实践

1. 卡尔曼滤波器概述

卡尔曼滤波器是一种用于自适应控制的随机模型。它主要用于估计线性动态系统的内部状态，但也可以通过线性或二次逼近函数扩展到非线性状态空间模型，这种扩展后的滤波器被称为扩展卡尔曼滤波器（EKF）。

在金融工程领域，离散卡尔曼滤波器可用于处理线性系统，通过奈奎斯特频率可以将连续信号转换为时间序列。

2. 状态空间估计

卡尔曼滤波器模型包含动态系统的两个核心元素：生成数据的过程和收集数据的测量，这两个元素构成了状态空间模型。数学上，状态空间模型由两个方程组成：
- 转移方程 ：描述系统的动态变化，包括不可观测变量。对于一个具有 $n$ 个变量的线性状态 $x_t$ 和控制输入向量 $u_t$ 的系统，状态在时间 $t$ 的预测通过以下线性随机方程计算：
$x_t = A \cdot x_{t - 1} + B \cdot u_t + w$
其中，$A$ 是 $n$ 维方阵，表示从 $t - 1$ 时刻的状态 $x$ 到 $t$ 时刻的状态 $x$ 的转移；$B$ 是 $n \times n$ 矩阵，描述控制输入模型；$w$ 是系统产生的噪声，也称为过程白噪声。
- 测量方程 ：描述可观测变量和不可观测变量之间的关系。系统状态的 $m$ 个测量值 $z_t$ 由以下方程定义：
$z_t = H \cdot x_t + v$
其中，$H$ 是 $m \times n$ 矩阵，建模测量对系统状态的依赖；$v$ 是测量设备引入的白噪声，遵循零均值的高斯分布，方差为 $R$，称为测量噪声