44、傅里叶分析与信号处理技术详解

傅里叶分析与信号处理技术详解

1. 频谱密度估计与傅里叶分析基础

频谱密度估计的目的是根据信号或时间序列的频率来测量其振幅。通过检测数据集中的周期性来估计频谱密度，科学家可以通过分析信号或时间序列的谐波来更好地理解它们。

需要注意的是，时间序列的频谱分析不应与谱理论相混淆。谱理论是线性代数的一个子集，主要研究希尔伯特和巴拿赫空间上的特征函数，而谐波和傅里叶分析则被视为谱理论的一个子集。

快速傅里叶变换（FFT）是最常用的频率分析算法。傅里叶分析将任何通用函数近似为正弦和余弦三角函数的和，这种分解为基本三角函数的过程被称为傅里叶变换。

2. 离散傅里叶变换（DFT）

一个时间序列 ${x_k}$ 可以表示为离散实时域函数 $f$，即 $x = f(t)$。18 世纪，让·巴普蒂斯特·约瑟夫·傅里叶证明了任何连续周期函数 $f$ 都可以表示为正弦和余弦函数的线性组合。离散傅里叶变换（DFT）是一种线性变换，它将时间序列转换为按频率排序的有限复或实三角函数组合的系数列表。

每个三角函数的频率 $\omega$ 定义了信号的一个谐波，代表信号振幅与频率关系的空间称为频域。通用 DFT 将时间序列转换为复数 $\omega = a + j\varphi$（$j^2 = -1$）定义的频率序列，其中 $a$ 是频率的振幅，$\varphi$ 是相位。

3. 实离散傅里叶变换

周期性函数 $f$ 可以表示为正弦和余弦函数的无限组合：
[
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k = 1}^{\infty}a_k\cos(nx)+\sum_{k = 1}^{