25、时间序列分析中的滤波与相关性研究

时间序列分析中的滤波与相关性研究

1. 时间序列处理结果与边缘效应

在时间序列分析中，某些方法在恢复数据特征方面表现良好，但也存在一些问题。例如，在特定的分析中，结果能够较好地恢复出数据中的两个峰值，但会受到“边缘效应”的影响，即在时间序列的开头和结尾会出现虚假的振荡。

2. 平滑对时间序列的影响

数据平滑是一种线性处理过程，形式为 (d_{smoothed}=Gd_{obs})，它也是一种滤波方式。数据核 (G) 是 Toeplitz 矩阵，其列定义了平滑滤波器 (s)。通常希望平滑是对称的，这样平滑后的数据 (d_{i}^{smoothed}) 是通过对观测数据 (d_{i}^{obs}) 在 (i) 左右两侧进行加权平均得到的。

以三点平滑滤波器为例：
(s = [s_0, s_1, s_2]^T = [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]^T)
它使用当前元素 (i)、过去元素 (i - 1) 和未来元素 (i + 1) 来计算平滑后的数据：
(d_{i}^{smoothed} = \frac{1}{4}d_{i - 1}^{obs} + \frac{1}{2}d_{i}^{obs} + \frac{1}{4}d_{i + 1}^{obs})

当滤波器长度 (L) 有限时，输出相对于输入会有延迟，滤波操作具有因果性。延迟通常为 (\frac{L - 1}{2}) 个样本，长度 (L) 控制着滤波器的平滑程度，较大的 (L) 对应着更高的平滑度。

常见的滤波器形状有三角形和均匀形。三角形滤波器线性上升到中心值然后线性下降，对中心数据的权重更大