直线拟合(支持任意维空间的直线拟合，附代码)

一、问题描述

  给定一系列的三维空间点$(x_i,y_i,z_i),i=1,2,...,n$，拟合得到直线的方程。本文的直线拟合方法适用于任意维空间的直线拟合，不失一般性，这里以三维空间的直线拟合为例。本文的直线拟合方法的基本思想参考博文：最小二乘法三维(k维)直线拟合。

二、推导步骤

  设直线的点向式方程为：
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=s\text{\hspace{1em}(1)}$$
  由式(1)，得到直线的参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=x_0+as\\ y=y_0+bs\\ z=z_0+cs\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
  式(2)写成向量形式为：
$$\mathbf{L}={\mathbf{L}}_0+\mathbf{v}s\text{\hspace{1em}(3)}$$
  其中，$\mathbf{L}=[x,y,z{]}^T$，${\mathbf{L}}_0=[x_0,y_0,z_0{]}^T$为直线上任意一点，$\mathbf{v}=[a,b,c{]}^T$为直线的单位方向向量。
  如下图，红色点$L_i(x_i,y_i,z_i)$为给定的一系列三维空间点，根据给定三维空间点，拟合直线方程(3)，也就是计算${\mathbf{L}}_0$和$\mathbf{v}$，使得在某种“距离”的度量下，达到最佳的直线拟合效果。

  点$L_i$到直线距离的平方为：
$$||{\mathbf{Q}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{L}}_{\mathbf{i}}|{|}^2=$$