BestCoder Round #65 HDU 5593 ZYB's Tree （树形DP）

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———动态规划———

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树形DP

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本文介绍了一种利用树形动态规划方法解决特定树结构问题的算法。该问题要求计算一棵拥有n个节点的树上，到每个点i距离不超过k的点的个数的异或和。通过分步求解，首先计算每个节点到根节点距离不超过j的点的数量，然后求解每个节点i上不超过k距离的点数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：点击打开链接

题意：有一棵n（n<=500000）个节点的树，ans[i]为树上到i点距离不超过k的点的个数，求出所有ans[i]的异或和

解法：树形DP，分步求解。具体如下：

1.dp[i][j]为以i为根的子树上到i的距离不超过j的点的个数，可先求距离恰好为j的点的个数，再求前缀和即可。

2.在求dp[i][j]时，可使在第一轮循环中按 j 从小到大顺序更新，第二轮循环中对于每个点 i ，dp[i][j]=sigma（dp[son[i]][j-1]），这样的好处是可以避免记忆化搜索。

3.在求出dp[i][j]后，求解到i距离不超过j的点的个数可从两方面考虑，一是在i的子树上的点，二是在i子树外的点，这部分点的个数为 sigma（dp[e][k-len]-dp[v][k-len-1]）,其中节点e、v均为i的祖先节点，且e为v的父节点，len为e到i的距离。

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

int fa[500005],dp[500005][11],ans[500005];
vector<int>  son[500005];
int t,n,k,A,B;

void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        son[i].clear();
    fa[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int tt=((long long)A*i+B)%(i-1)+1;
        fa[i]=tt;
        son[tt].push_back(i);
    }
}

void dfs(int x){
    int cur=x,pre=fa[x];
    int len=k;
    ans[x]=dp[x][len];
    while(pre!=0&&len>=1){
        ans[x]+=dp[pre][len-1];
        if(len>=2)
            ans[x]-=dp[cur][len-2];
        len--;
        int mem=pre;
        pre=fa[pre];
        cur=mem;
    }
}

int main (){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&A,&B);
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                dp[i][j]=0;
                for(int tt=0;tt<son[i].size();tt++)
                    dp[i][j]+=dp[son[i][tt]][j-1];
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=k;j++)
                dp[i][j]+=dp[i][j-1];
        int tmp=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dfs(i);
            tmp=tmp^ans[i];
        }
        printf("%d\n",tmp);
    }
    return 0;
}