莫队学习总结（一） ：清橙A1206.小Z的袜子 && CF 86D

在网上看了一些别人写的关于莫队算法的介绍，我认为，莫队与其说是一种算法，不如说是一种思想，他通过先分块再排序来优化离线查询问题。

应用范围：一般问题是让你回答多个连续区间上的问题，如果你知道了区间【l，r】的答案、你就可以在O（1）或O（logn）时间内知道【l+1，r】、【l，r+1】、【l-1,r】、【l，r-1】区间的答案，那么你就可以应用莫队算法。

实现方法：数组长度为n，查询个数为m。先读入所有查询，然后把查询【l，r】按l/sqrt（m）递增的的顺序排序，如果相同再按r递增的顺序排序，然后维护当前区间的查询值，再按排好的序从前到后暴力跑一遍就OK了。

原理阐述：到这里很多人可能要问一个问题，为什么要分sqrt（m）块？这个问题也困扰了我好久，不过经过一番冥想，我终于找到了答案：假设我们要把查询分成x块，那么每块中 r 的移动量最大为n、总的移动量为n*x，每块中 l 的移动量最大为n/t、总的移动量为m*n/x，整个查询的复杂度为（n*x+n*m/x），根据数学知识我们可以知道，在n*x=n*m/x的时候总的复杂度是最小的，这时x=sqrt（m），复杂度为O（2*n*sqrt（m）），这样莫队按sqrt（m）分块的合理性就得到了证明。

入门题1：青橙A1206.小Z的袜子

http://www.tsinsen.com/A1206

长度为n的数组，有m个询问，每个询问你需要回答：在该区间内任意抽两个数字且两个数字的数值相同的概率是多大，答案需要时最简分数的形式。

思路：对于区间【l，r】，其不同数值的数的个数分别为a、b、.....、c，那么上述的概率就是（a^a+b^b+...+c^c-(r-l+1)）/(r-l)*(r-l+1)。（不要问我是咋推出来的）。

解法：维护当前区间【l，r】中数值为v的数的个数cnt【v】，如果该区间答案为temp，那么对于区间【l，r+1】，你可以在O（1）时间内求出新的temp，那么久可以运用莫队来搞定了。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

const int maxn=50005;
typedef long long LL;
int n,m;

LL gcd(LL a,LL b){
    if(b==0)  return a;
    return gcd(b,a%b);
}

struct ANS{
    LL a,b;
    void simple(){
        LL kk=gcd(a,b);
        a/=kk;
        b/=kk;
    }
}ans[maxn];

struct node{
    int l,r,id;
}q[maxn];

int cmp(const node& a,const node& b){
    if(a.l/(int)sqrt(m)!=b.l/(int)sqrt(m)) return a.l/(int)sqrt(m)<b.l/(int)sqrt(m);
    return a.r<b.r;
}

int c[maxn];
int cnt[maxn];

void solve(){
    cnt[c[1]]++;
    LL temp=1;
    int l=1;
    int r=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        //cout<<l<<"  "<<r<<endl;
        while(l<q[i].l){
            temp=temp-cnt[c[l]]*cnt[c[l]];
            cnt[c[l]]--;
            temp=temp+cnt[c[l]]*cnt[c[l]];
            l++;
        }
        while(l>q[i].l){
            l--;
            temp=temp-cnt[c[l]]*cnt[c[l]];
            cnt[c[l]]++;
            temp=temp+cnt[c[l]]*cnt[c[l]];
        }
        while(r<q[i].r){
            r++;
            temp=temp-cnt[c[r]]*cnt[c[r]];
            cnt[c[r]]++;
            temp=temp+cnt[c[r]]*cnt[c[r]];
        }
        while(r>q[i].r){
            temp=temp-cnt[c[r]]*cnt[c[r]];
            cnt[c[r]]--;
            temp=temp+cnt[c[r]]*cnt[c[r]];
            r--;
        }
        //cout<<q[i].id<<endl;
        ans[q[i].id].a=temp-(r-l+1);
        ans[q[i].id].b=(LL)(r-l+1)*(r-l);
        ans[q[i].id].simple();
    }
}

int main (){
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&c[i]);
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
            q[i].id=i;
        }
        sort(q+1,q+m+1,cmp);
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        solve();
        for(int i=1;i<=m;i++)
            cout<<ans[i].a<<"/"<<ans[i].b<<endl;
    }
    return 0;
}

入门题2：  CF 86D Powerful array

http://codeforces.com/problemset/problem/86/D

题意：给你一个长度为n的数组，m个询问，每个询问需要你回答对于给出的区间【l，r】，sigma（cnt[v]*cnt[v]*v），其中v是【l，r】内的数字，cnt[v]是【l，r】内v的个数。

解法：区间的范围每移动一次，就可以在O(1)时间内完成更新，故可以使用莫队算法（具体实现详见代码）

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=200005;
const int maxa=1e6;

int n,t;

struct node{
    int l,r,id;
}q[maxn];

int cmp(const node& a,const node& b){
    if(a.l/(int)sqrt(t)!=b.l/(int)sqrt(t))  return a.l/(int)sqrt(t)<b.l/(int)sqrt(t);
    return a.r<b.r;
}

int cnt[maxa+5];
int a[maxn];
LL ans[maxn];

LL temp;
void update(int cur,int change){
    temp-=(LL)cnt[a[cur]]*cnt[a[cur]]*a[cur];
    cnt[a[cur]]+=change;
    temp+=(LL)cnt[a[cur]]*cnt[a[cur]]*a[cur];
}

void solve(){
    temp=a[1];
    cnt[a[1]]++;
    int l=1;
    int r=1;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        while(l<q[i].l){
            update(l,-1);
            l++;
        }
        while(l>q[i].l){
            l--;
            update(l,1);
        }
        while(r>q[i].r){
            update(r,-1);
            r--;
        }
        while(r<q[i].r){
            r++;
            update(r,1);
        }
        ans[q[i].id]=temp;
    }
}

int main (){
    while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=t;i++){
            scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
            q[i].id=i;
        }
        sort(q+1,q+t+1,cmp);
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        solve();
        for(int i=1;i<=t;i++)
            cout<<ans[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

学了这么久，感觉终于学了一点点听起来牛逼一点的东西了，不过还是要在深入的研究一下，等搞完数模再说吧。