【BestCoder Round 65D】【树形DP 容斥思想】ZYB's Tree 求距离每个节点距离不超过k的节点数

ZYB's Tree

 

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问题描述

$ZYB$有一颗$N$个节点的树,现在他希望你对于每一个点,求出离每个点距离不超过$K$的点的个数.

两个点$(x,y)$在树上的距离定义为两个点树上最短路径经过的边数,

为了节约读入和输出的时间,我们采用如下方式进行读入输出:

读入:读入两个数$A,B$,令fa_ifa​i​​为节点$i$的父亲,fa_1=0fa​1​​=0;fa_i=(A*i+B)\%(i-1)+1fa​i​​=(A∗i+B)%(i−1)+1 $i\in [2,N]$ .

输出:输出时只需输出$N$个点的答案的$xor$和即可。

输入描述

第一行一个整数$T$表示数据组数。

接下来每组数据：

 一行四个正整数$N,K,A,B$.

 最终数据中只有两组$N\ge 100000$。

$1\le T\le 5$,$1\le N\le 500000$,$1\le K\le 10$,$1\le A,B\le 1000000$

输出描述

$T$行每行一个整数表示答案.

输入样例

1
3 1 1 1

输出样例

3

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
void fre(){freopen("c://test//input.in","r",stdin);freopen("c://test//output.out","w",stdout);}
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define MP(x,y) make_pair(x,y)
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
typedef long long LL;
typedef unsigned long long UL;
typedef unsigned int UI;
template <class T1,class T2>inline void gmax(T1 &a,T2 b){if(b>a)a=b;}
template <class T1,class T2>inline void gmin(T1 &a,T2 b){if(b<a)a=b;}
const int N=5e5+10,M=1e6+10,Z=1e9+7,ms63=1061109567;
int casenum,casei;
int n,K,A,B;
int first[N],id;
int w[M],nxt[M];
bool e[N];
int f[N][12],ans;
inline void ins(int x,int y)
{
	++id;
	w[id]=y;
	nxt[id]=first[x];
	first[x]=id;
}
void dfs(int x)
{
	e[x]=1;
	f[x][0]=1;for(int i=1;i<=K;++i)f[x][i]=0;
	for(int z=first[x];z;z=nxt[z])
	{	
		int y=w[z];
		if(e[y])continue;
		dfs(y);
		for(int i=1;i<=K;++i)f[x][i]+=f[y][i-1];
	}
}
void dp(int x)
{
	e[x]=0;
	for(int z=first[x];z;z=nxt[z])
	{
		int y=w[z];
		if(!e[y])continue;
		for(int i=K;i>=2;--i)f[y][i]+=f[x][i-1]-f[y][i-2];++f[y][1];
		dp(y);
	}
	int tmp=0;
	for(int i=0;i<=K;++i)tmp+=f[x][i];
	ans^=tmp;
}
int main()
{
	scanf("%d",&casenum);
	for(casei=1;casei<=casenum;++casei)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&n,&K,&A,&B);
		memset(first,0,n+2<<2);id=0;
		for(int i=2;i<=n;++i)
		{
			int j=((LL)A*i+B)%(i-1)+1;
			ins(i,j);ins(j,i);
		}
		ans=0;
		dfs(1);
		dp(1);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}
/*
【trick&&吐槽】
1，csy向我透露说，这次BC有题可以暴力过！
于是我就写了个暴力，然后TLE……
果然还是要自己思考，不能再被骗了2333

2，A和B都是1e6范围的数，所以乘法可能会爆int，一定要注意啊>_<

3，这么水的题比赛时候竟然没认真想过，我好蠢！

【题意】
给你一棵树，树上有n（5e5）个节点，让你求出，对于所有点而言的，距离不超过K（1<=K<=10）的节点数。
然后输出这所有节点数的异或和。

【类型】
树形DP

【分析】
首先，这是树结构。
然后，我们尝试简化问题。
如果求的，不是对于一个节点，所有距离在[1,K]的节点数，而是限制在子树内的距离在[1,K]的节点数。
那么，这道题，我们直接一个dfs就可以搞定。
就是从叶子节点开始，距离这个节点距离为[1,K]的节点数。
然后f[x][i]=∑f[son][i-1]，i∈[1,K]
    f[x][0]=1

然而，我们还要求与非子树内的节点，怎么办呢？
我们做完之前的预处理之后，只需要从父节点寻求转移即可。

我们假设，我们已经知道了距离父节点x距离为0~K的所有点的点数。我们现在要向子节点y转移。
显然，f[y][i]+=f[x][i-1]-f[y][i-2]，2<=i<=K。
	  ++f[y][1];
意思是，距离父节点x为i-1的节点，转移到节点y的时候，距离就变成了i。
然而， 并非所有的节点都能做转移。y子树内的，距离为y为i-2的节点，距离父节点的距离也是i-1，但是距离y的距离并非为i。
所以我们把这些节点剔除。

一个转移从子节点转移而来，另外一个转移从父节点转移而来。
同时DP的时候要注意使用合理的拓扑序，就可以顺利AC这道题啦。啦啦啦啦~

【时间复杂度&&优化】
O（nk）

【数据】
调试代码——
for(int i=1;i<n;++i)
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	ins(x,y);
	ins(y,x);
}
input
14 5 1 1
1 2
2 3
3 4
4 5
1 6
6 7
7 8
8 9
9 10
1 11
11 12
12 13
13 14
output
8
*/