LeetCode 64. 最小路径和

问题描述

LeetCode 64题“最小路径和”是一个经典的动态规划问题。题目要求在一个包含非负整数的 m x n 网格中，找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

算法分析

动态规划

动态规划是解决这类问题的有效方法。我们可以定义一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示到达位置 (i, j) 的最小路径和。

状态转移方程

对于每个位置 (i, j)，机器人可以从左边 (i, j-1) 或上面 (i-1, j) 到达。因此，状态转移方程为： dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+grid[i][j]

初始化

• 起点 dp[0][0] 直接赋值为 grid[0][0]。

• 第一行和第一列的每个位置只能从一个方向到达，因此需要单独处理。

代码实现

以下是使用C++实现的代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
       
       int c=grid[0].size();
        int r=grid.size();
        vector<int> dp(c,0);
        dp[0]=grid[0][0];
        for(int j=1;j<c;j++)
            dp[j]=dp[j-1]+grid[0][j];
        for(int i=1;i<r;i++)
        {
            dp[0] += grid[i][0];
            for(int j=1;j<c;j++)
            {
               dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[c-1];
    }
};

时间复杂度

时间复杂度为 O(m×n)，因为我们需要计算 dp 数组中的每个元素。

空间复杂度

空间复杂度为 O(m×n)，因为我们需要存储 dp 数组。

总结

通过动态规划，我们可以有效地计算出从网格的左上角到右下角的最小路径和。这种方法利用了状态转移方程和边界条件，避免了重复计算，提高了算法的效率。