hdu5307 He is Flying FFT

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本文介绍了一种利用快速傅立叶变换(FFT)处理前缀和问题的方法，通过对数组元素进行特殊处理，实现了对前缀和的高效计算，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

处理一个前缀和，那么 $ans[x]=\sum_{sum[i]-sum[j]=x}{i-j}$
然后 $sum[i]-sum[j]$ 可以当成卷积做，不过由于FFT只支持乘法，因此可以先做一遍关于i的，再做一遍关于j的，然后相减。
注意0的情况。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 110000
#define ll long long
#define ld long double
const ld PI=acos(-1);
int T,n;
int sum[N],cnt;
ll ans[N],pre[N];
struct cp
{
    ld x,y;
    cp(){}
    cp(ld x,ld y):x(x),y(y){}
    friend cp operator + (const cp &r1,const cp &r2)
    {return cp(r1.x+r2.x,r1.y+r2.y);}
    friend cp operator - (const cp &r1,const cp &r2)
    {return cp(r1.x-r2.x,r1.y-r2.y);}
    friend cp operator * (const cp &r1,const cp &r2)
    {return cp(r1.x*r2.x-r1.y*r2.y,r1.x*r2.y+r2.x*r1.y);}
}a[N<<2],b[N<<2],c[N<<2];
void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(c,0,sizeof(c));
}
void FFT(cp *a,int len,int type)
{
    int t=0;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(i>t)swap(a[i],a[t]);
        for(int j=len>>1;(t^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(int i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        cp wn(cos(2*PI*type/i),sin(2*PI*type/i));
        for(int j=0;j<len;j+=i)
        {
            cp t,w(1,0);
            for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn)
            {
                t=w*a[j+k+(i>>1)];
                a[j+k+(i>>1)]=a[j+k]-t;
                a[j+k]=a[j+k]+t;
            }
        }
    }
}
void solve(cp *a,cp *b,cp *c,int len)
{
    FFT(a,len,1);FFT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)c[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c,len,-1);
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        pre[i]=pre[i-1]+(ll)i*(i+1)/2;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        scanf("%d",&n);cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&sum[i]);
            if(sum[i]==0)cnt++;
            else ans[0]+=pre[cnt],cnt=0;
            sum[i]+=sum[i-1];
        }
        ans[0]+=pre[cnt];
        int len=1;for(;len<=sum[n]<<1;len<<=1);

        init();
        for(int i=0;i<=n;i++)
            a[sum[i]].x+=i,b[sum[n]-sum[i]].x++;
        solve(a,b,c,len);
        for(int i=1;i<=sum[n];i++)
            ans[i]+=(ll)(c[i+sum[n]].x/len+0.1);

        init();
        for(int i=0;i<=n;i++)
            a[sum[i]].x++,b[sum[n]-sum[i]].x+=i;
        solve(a,b,c,len);
        for(int i=1;i<=sum[n];i++)
            ans[i]-=(ll)(c[i+sum[n]].x/len+0.1);

        for(int i=0;i<=sum[n];i++)
            printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}