bzoj 3864 dp套dp-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/make_it_for_good/article/details/52511268

本文介绍了一种使用动态规划解决DNA序列最长公共子序列(LCS)问题的方法，并通过编程实现来统计不同长度的DNA子串与给定序列的LCS长度。该算法通过状态压缩和转移矩阵来高效计算所有可能的子串匹配情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给一个长度为 $n (n<=15)$ 的DNA串 $s$ ，对于 $[0,n]$ 之间的每一个整数 $x$ 求有多少长度为 $m$ 的DNA串与 $s$ 的lcs长度为 $x$ 。

考虑dp求lcs的转移分两种：
$1. f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) (S1[i]!=S2[j])$
$2. f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 (S1[i]==S2[j])$

枚举s串转移时用第二种转移的位置，状压起来。
然后设 $trs[i][j]$ 表示第二种转移位置集合为i，在另一个串后面接上字符j后的第二种转移位置集合。
这个东西dp算一下。

设 $g[i][j]$ 表示长度为i，集合为j的方案数。用 $trs[i][j]$ 转移一下就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N (1<<15)+10
#define mod 1000000007
int T,n,m;
char s[21];
int f1[21],f2[21],g[2][N],trs[N][4],ans[21],cnt[N];
char c[5]={'A','T','G','C',};
void predp()
{
    for(int S=0;S<(1<<n);S++)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            f1[i+1]=f1[i]+(S>>i&1);         
        cnt[S]=f1[n];
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                f2[j]=max(f2[j-1],f1[j]);
                if(s[j-1]==c[i])
                    f2[j]=max(f2[j],f1[j-1]+1);
            }
            trs[S][i]=0;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(f2[j]!=f2[j-1])
                    trs[S][i]|=1<<j-1;
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s%d",s,&m);
        n=strlen(s);
        predp();
        memset(g[0],0,sizeof(g[0]));
        g[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {   
            memset(g[i&1],0,sizeof(g[i&1]));
            for(int j=0;j<1<<n;j++)
                for(int k=0;k<4;k++)
                    (g[i&1][trs[j][k]]+=g[~i&1][j])%=mod;
        }
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        for(int i=0;i<1<<n;i++)
            (ans[cnt[i]]+=g[m&1][i])%=mod;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}