bzoj 3622 容斥原理

最新推荐文章于 2018-07-13 23:27:23 发布

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本文介绍了一种通过动态规划解决特定配对计数问题的方法，包括排序、动态规划转移方程及容斥原理的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给出有n个元素的集合A和集合B，所有2n个元素互不相同，求将A集合中的元素和B集合中的元素两两配对，使A的元素大于B中元素的对数恰为 $\frac{n+K}{2}$ 对。

设 $f[i][j]$ 表示A中的前i个元素配对后至少有j对满足A的元素大于B中元素。
那么先将A和B排序，设 $nex[i]$ 表示b中最后一个小于A中i元素的位置。然后dp一下。
$f[i][j]=f[i-1][j-1]*(nex[i]-j+1)+f[i-1][j]$
这个方程没有考虑A中除了这j对中元素之外的其他元素的配对方向。

那么容斥一下，设 $g[i]$ 表示A中恰有i对满足条件的方案数。
$g[i]=f[n][i]*(n-i)!-\sum_{j=i+1}^ng[j]*C_j^i$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000009
#define ll long long
#define N 2100
int n,K;
int a[N],b[N],nex[N],g[N],jc[N];
int f[N][N],C[N][N];
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&K);
    if((n+K)&1){puts("0");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);

    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;

    for(int i=0;i<=n;i++)C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;

    for(int i=1,now=1;i<=n;i++)
    {
        while((!now||b[now]<a[i])&&now<=n)now++;
        now--;nex[i]=now;
    }

    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {   
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j)(f[i][j]+=(ll)f[i-1][j-1]*(nex[i]-j+1)%mod)%=mod;
        }
    int t=(n+K)/2;
    for(int i=n;i>=t;i--)
    {   
        g[i]=(ll)f[n][i]*jc[n-i]%mod;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            (g[i]+=mod-(ll)g[j]*C[j][i]%mod)%=mod;
    }
    printf("%d\n",g[t]);
    return 0;
}