【一次过】【坐标型】Lintcode 114. 不同的路径

有一个机器人的位于一个 m × n 个网格左上角。

机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

问有多少条不同的路径？

样例

给出 m = 3 和 n = 3, 返回 6.
给出 m = 4 和 n = 5, 返回 35.

注意事项

n和m均不超过100

---

解题思路：

是Lintcode 110. 最小路径和的简单版本。

确定状态：

最后一步：无论机器人用何种方式到达右下角，最后一步挪动总是从左边或上边来。

子问题：设dp[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到[i][j]。

则状态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

初始条件：

dp[0][0] = 1

边界条件：

i=0 或 j=0，则前一步只能由一个方向过来

public class Solution {
    /**
     * @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
     * @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
     * @return: An integer
     */
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // write your code here
        if(m==0 || n==0)
            return 0;
        
        int[][] dp = new int[m][n];
        
        //初始条件
        dp[0][0] = 1;
        
        //边界条件
        for(int i=1 ; i<dp.length ; i++)
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
        
        for(int j=1 ; j<dp[0].length ; j++)
            dp[0][j] = dp[0][j-1];
        
        //状态方程
        for(int i=1 ; i<dp.length ; i++)
            for(int j=1 ; j<dp[0].length ; j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

为防止边界条件过多，可以将数组多开辟一行一列作为左上角边界，这样状态方程就能直接从dp[1][1]开始讨论，而不必单独讨论边界条件，代码更简洁。

public class Solution {
    /**
     * @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
     * @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
     * @return: An integer
     */
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // write your code here
        if(m==0 || n==0)
            return 0;
        
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        
        dp[0][1] = 1;
        
        for(int i=1; i<=m; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        
        return dp[m][n];
    }
}