数论概论 第四章 高次幂之和和费马大定理

      本章介绍费马大定理的提出和相关数学家的工作，在此不再重复。

 

习题4.2

本题讨论关于方程a^3+b^3=c^2的问题。

 

我试图去找关于三元组(a,b,c)的通项，但是可惜，打表之后并没有什么比较明显的结果，大部分的(a,b,c)都有公因子，但是也有不存在公因子的，例如(11,37,228),(56,65,671)等等。他对第一题的提示为“寻找形如(xz,yz,z^2)的解，当然并非每组x，y，z都可行”。当然，根据上面举出的abc不存在公因子的情况，那么(xz,yz,z^2)既不是(a,b,c)满足a^3+b^3=c^2的充分条件也不是必要条件。

但是根据题目的提示去寻找，可以将这三个数代入式子，得到：x^3+y^3=z。也就是说将满足这个条件的xyz代入式子里，就可以得到满足条件的a，b，c。例如假设x=1,y=2,那么有z=1^3+2^3=9。所以(a,b,c)=(9,18,81)。即为一个解。

 

第二小问讨论三元组(a,b,c)的推广问题。

如果有(a,b,c)满足a^3+b^3=c^2，那么a'=a*n^2,b'=b*n^2,代入则有a^3*n^6+b^3*n^6=(a^3+b^3)*n^6=n^6*z^2=(z*n^3)^2。也就是说如果(a,b,c)满足a^3+b^3=c^2,(a',b',c')满足(a*n^2,b*n^2,c*n^3)，那么(a',b',c')也一定满足a'^3+b'^3=c'^2。所以说根据这个推论可以得出满足条件的该三元组也是无穷多的。

 

如果说(xz,yz,z^2)可以找出方程的部分解，那么当x，y，z满足什么条件该三元组才能是本原解呢？

很显然，如果z是一个平方数的倍数的话，那么显然该三元组不是本原的，因为假设k^2|z,那么有k^2|xz，k^2|yz，k^3|z^2，也就是说该三元组形如(k^2*t1,k^2*t2,k^3*t3)，与本原的概念相悖。那么如果要求本原，z只可能是不同素数之积了。那对x，y是否有要求呢？