统计学从挂科到满分【笔记2】

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本文深入解析统计学中的各类平均数计算方法，包括算术平均数、加权平均数、调和平均数、几何平均数及幂平均数，并探讨它们在实际问题中的应用。同时，文章还介绍了位置代表数的概念，如中位数、分位数和众数，以及如何通过离散指标如全距、内距、异众比率、平均差、方差和标准差来衡量数据的离散程度。此外，文中还讲解了变异系数、是非标志、偏度系数和峰度系数等高级统计概念。

第三章统计运算基础

1. 平均数

（1）算术平均数： $s u m / n$
（2）加权平均数：
$∑i=1nxiwi∑i=1nwi（w为频数/率）\frac{\sum^{n}_{i=1}x_iw_i}{\sum^n_{i=1}w_i}（w为频数/率）$

（3）调和平均数：
$H=n∑1xH=\frac{n}{\sum\frac{1}{x}}$

在某些情形下调和平均数与算术平均数等价。

例1：某人在100元/股，200元/股，300元/股三个价位各买进股票60000元，问所持股票的均价多少？

解：
$H=总金额总股数=60000∗360000100+60000200+60000300=31100+1200+1300H=\frac{总金额}{总股数}=\frac{60000*3}{\frac{60000}{100}+\frac{60000}{200}+\frac{60000}{300}}=\frac{3}{\frac{1}{100}+\frac{1}{200}+\frac{1}{300}}$

例2：设某行业150个企业的有关产值和利润如下，计算第一二季度的平均产值利润率。
（产值利润率=实际利润 / 实际产值 * 100%）

在这里插入图片描述
解：
实际产值*利润率=实际利润
总利润率=总利润 / 总产值
对于第一季度：
已知实际产值，未知实际利润
对于第二季度：
已知实际利润，未知实际产值

（4）几何平均数：
$G=∏inXinG=\sqrt[n]{\prod_{i}^nX_i}$

用于计算平均比率或者平均发展速度。

例1：某人向银行贷款，第一季度利率5%，第二季度利率5.2%，第三季度利率4.6%，第四季度的利率是5.8%，问平均每季度的利率是多少？

易错写法：
在这里插入图片描述

例2：设某生产流水线由12道工序组成，据统计有3道工序的不合格率为2%，有4道工序的不合格率为4%，有5道工序的不合格率为5%，则平均的不合格率为多少？

在这里插入图片描述
（5）幂平均数：

通过幂平均数，可以化成其他的平均数

（6）不同平均数的特点：

算术平均：取长补短
几何平均和调和平均：劳有所得
幂平均：惩罚坏的，激励好的

2. 位置代表数

（1）中位数：按大小排列之后居中的数，如果有两个则取平均。
（2）分位数：比如四等位数
（3）众数：出现次数最多的数，可以出现多个众数

3. 分布偏态与平均数和位置代表数的关系

$M_o$ 是众数， $M_e$ 是中位数
在这里插入图片描述

例题：一组技术人员月薪的众数为7000元，算术平均数为10000元，适度偏斜时中位数近似值是多少？

4. 离散指标

离散指标反映的是数值的差异程度

4.1 全距（极差）

R=Max-Min

4.2 内距（四分位差）

在这里插入图片描述

4.3 异众比率

非众数组频数占总频数之比：
$Vr=∑fi−fo∑fi（fo是众数频数）V_r=\frac{\sum f_i-f_o}{\sum f_i}（f_o是众数频数）$

4.4 平均差

全称：平均绝对偏差
$Mad=∑∣xi−xˉ∣nMad=\frac{\sum |x_i-\bar x|}{n}$

性能没有标准差好

4.5 方差与标准差

$σ2=∑(xi−xˉ)2n\sigma ^2=\frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}$
$σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma =\sqrt \frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}$
方差简易公式：
$S2=x2ˉ−xˉ2S^2=\bar{x^2}-\bar x^2$

4.6 变异系数

为什么要引入变异系数？
当两个问题的量纲不一致的时候，难以比较透明的离散程度。

比如：已知某班所有学生的身高和体重，哪个离散程度较小？

为了消除变量水平和计量单位的影响，引入变异系数：
标准差系数，极差系数，平均差系数

标准差系数： $Vs=sxˉV_s=\frac{s}{\bar x}$

指标除以平均值就是系数。

对于体重和身高的离散程度比较问题解答：
若已知：
$σh=13.64cmxˉh=167.9cmσw=8.94kgxˉw=65.1kg\sigma_h=13.64cm \\ \bar x_h=167.9cm \\ \sigma_w=8.94kg\\\bar x_w=65.1kg$

在这里插入图片描述
所以体重的离散程度更大

4.7 是非标志

对于一个二分问题而言，我们对于问题的对错的概率引入“成数”这一概念。

是：P
否：Q

例子：某批产品共500件，其中合格品480件，不合格品20件，计算成数？

解：
P=480/500=96%, Q=20/500=4%

引入成数之后，可以利用成数化简标准差公式：
在这里插入图片描述
$σ=PQ\sigma=\sqrt{PQ}$

注意，只对于二分问题成立。

4.8 偏度系数

什么是偏度？偏度系数用于衡量什么？
偏度用于描述分布形状，对于一个分布是右偏还是左偏，偏离多少，我们需要一个量化标准。
正偏：
在这里插入图片描述
负偏：

计算角度1：基于算术平均数，众数/中位数
$Sk=xˉ−mosS_k=\frac{\bar x-m_o}{s}$

s 是标准差

变动范围在(-3,3)之间
当 $S_k<0$ 表示负偏

计算角度2：基于四分位数
在这里插入图片描述
$Sk=Ql+Qu−2meQu−QlS_k=\frac{Q_l+Q_u-2m_e}{Q_u-Q_l}$

$m_e$ 是中位数

系数变动范围在(-1,1)
当 $S_k<0$ 表示负偏

计算角度3：动差法
中心动差（c阶动差）：
$mc=∑(xi−xˉ)c/nm_c=\sum (x_i-\bar x)^c/n$

$Sk=m3S3S_k=\frac{m_3}{S^3}$

4.9 峰度系数

引入峰度也是为了描述分布的陡峭性。
在这里插入图片描述
计算公式：
$K=∑(xi−xˉ)4/n(∑(xi−xˉ)2/n)2=m4s4K=\frac{\sum (x_i-\bar x)^4/n}{(\sum (x_i-\bar x)^2/n)^2}=\frac{m_4}{s^4}$
当K=3，正态分布
当K=1.8，均匀分布
例题：动差法求偏度系数和峰度系数

解：