【数论概论第四版】【第一章】

第一章 什么是数论

习题1.1

​ 既是平方数又是三角数的前两个数是1与36，求下一个这样的数，如果可能的话，再求下一个。你能给出求三角平方数的有效方法么？你认为有无穷多个三角平方数吗？

解:
$$\begin{array}{cccc}三角数& 平方数& x_n& y_n\\ & & 0& 1\\ \frac{1\times 2}{2}& 1^2\times 1^2& 0+1=1& 2\times 0+1=1\\ \frac{8\times 9}{2}& 2^2\times 3^2& 1+1=2& 2\times 1+1=3\\ \frac{49\times 50}{2}& 7^2\times 5^2& 2+3=5& 2\times 2+3=7\\ \frac{288\times 289}{2}& 12^2\times 17^2& 5+7=12& 2\times 5+7=17\\ \frac{1681\times 1682}{2}& 41^2\times 29^2& 12+17=29& 2\times 12+17=41\\ \frac{9800\times 9801}{2}& 70^2\times 99^2& 29+41=70& 2\times 29+41=99\end{array}$$

$$\begin{gathered} 构建数对:(x_0，y_0)=(0,1),(x_n，y_n)=(x_{n-1}+y_{n-1}，2x_{n-1}+y_{n-1})=(x_{n-1},y_{n-1})\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right) \\ \begin{array}{rl}可得:2x_n^2-y_n^2& =2{\left(x_{n-1}+y_{n-1}\right)}^2-{\left(2x_{n-1}+y_{n-1}\right)}^2\\ & ={\left(-1\right)}^1\times \left(2x_{n-1}^2-y_{n-1}^2\right)\\ & ={\left(-1\right)}^2\times \left(2x_{n-2}^2-y_{n-2}^2\right)\\ & =\cdots \\ & ={\left(-1\right)}^n\times \left(2x_0^2-y_0^2\right)\\ & ={\left(-1\right)}^{n+1}\\ 即:\mid 2x_n^2-y_n^2\mid & =1\\ \Rightarrow \frac{2x_n^2\times y_n^2}{2}& ={\left(x_n{y}_n\right)}^2是一个三角平方数\end{array} \end{gathered}$$

另外 $\because T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 中 $(n,n+1)=1$
$\therefore (n,\frac{n+1}{2})$ 或$(\frac{n}{2},n+1)$ 必然分别是两个数的平方，即$(a^2,b^2)$​
或可证明通过此种方式可以获得所有的三角平方数。可用矩阵快速幂求得第 n 个三角平方数

习题1.2

​ 试将前几个奇数加起来，观察所得到的数是否满足某些模式，一旦发现模式，将他表示成公式，给出你的公式成立的几何证明。

解:
$$\{\begin{array}{llccccccccccccccccccccccccccccccccccc}1& =1^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 1+3& =2^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 1+3+5& =3^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$
猜想：$1+3+5+\cdots +(2n-1)=(n-1{)}^2+2n-1=n^2$
$$\begin{array}{c}1\end{array}\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\cdots \cdots \begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}$$

习题1.3

​ 连续的奇数 $3,5,7$都是素数，存无穷多个这样的“素数三元组”吗？换句话说，存在无穷多个素数 $\mathrm{p}$ 使得 $\mathrm{p}+2$ 和 $\mathrm{p}+4$ 都是素数吗？

答：不存在
证:
\quad 令 $p=3k+m，p>3$，则 $p+2=3k+m+2$， $p+4=3k+m+4$, 则有:
$$\{\begin{array}{llcccccccccccccccccccccccccccccc}p& \equiv m+0\mathrm{mod}3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ p+2& \equiv m+2\mathrm{mod}3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ p+4& \equiv m+1\mathrm{mod}3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$
即 : $p，p+2，p+4$中必有一个数能被 $3$​整除

习题1.4

​ 尽管没有人保证，但是人们普遍认为有无穷多个素数形如$N^2+1$。

• (a) 你认为存在无穷多个形如$N^2-1$的素数吗？
• (b) 你认为存在无穷多个形如$N^2-2$的素数吗？
• (c) 形如$N^2-3$的数如何呢？形如$N^2-4$的数又如何呢？
• (d) 你认为 $\mathrm{a}$ 取哪些值时存在无穷多个形如$N^2-a$的素数？

(a) $N^2-1=(N-1)(N+1)\Rightarrow$​ 不存在无穷多个形如N^2-1的素数

(b)
$$\{\begin{array}{llccccccccccccccccccccccccccccccccccc}{2}^2-2& =2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 3^2-2& =7& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 5^2-2& =23& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$
猜想：存在无穷多个形如$N^2-2$​的素数

(c)
$$\{\begin{array}{llccccccccccccccccccccccccccccccccccc}{4}^2-3& =13& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 8^2-3& =61& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ 10^2-3& =97& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$
猜想：存在无穷多个形如$N^2-3$的素数
$N^2-4=(N-2)(N+2)\Rightarrow$​ 不存在无穷多个形如N^2-4的素数

(d) 答: $\mathrm{a}$ 不是平方数

习题1.5

​ 通过重排和式中的项也可推导出前n个正整数和的公式，请补充推导细节
$$\begin{array}{rl}1+2+3+\cdots +n& =(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\dots \\ & =(1+n)+(1+n)+(1+n)+\dots \end{array}$$
特别地，在第二行有多少个$n+1$呢？

答: $\mathrm{n}$为偶数时有 $\frac{n}{2}$ 个，n为奇数时有 $\frac{n-1}{2}$ 个且多出一个 $\frac{n+1}{2}$

习题1.6

​ 为以下结论填上易于判断的准则：

• (a) M是三角数但且仅当_________是一个奇平方数
• (b) N是奇平方数但且仅当_____________是一个三角数
• (c) 证明(a),(b)中你所填的准则的正确性

(a) 答：$8M+1$
(b) 答：$\frac{N-1}{8}$
(c) 证: 令 $N=(2n+1{)}^2,M=\frac{n(n+1)}{2},n\in N$
$则\frac{N-1}{8}=\frac{(2n+1-1)(2n+1+1)}{8}=\frac{n(n+1)}{2}=M\iff 8M+1=N$
\qquad 可得：对于任意一个整数n都分别对应一个奇平方数和一个三角数
\qquad 引申：任意一个奇平方数N，N-1都可以被8整除

代码-矩阵快速幂

/**
 * 矩阵乘法，未做不可乘校验
 * @return
 */
public int[][] mmul(int[][] x, int[][] y){
    int m = x.length;
    int n = x[0].length;
    int k = y.length;
    int[][] z = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int l = 0; l < k; l++) {
                z[i][j] += x[i][l] * y[l][j];
            }
        }
    }
    return z;
}

/**
 * 矩阵快速幂
 * @param f0 初始矩阵
 * @param f  迭代矩阵
 * @param n  幂次
 * @return f0 * f ^ n
 */
public int[][] qmpow(int[][] f0, int[][] f, int n){
    while(n != 0){
        if((n & 1) == 1) f0 = mmul(f0, f);
        if(n > 1) f = mmul(f, f);
        n >>= 1;
    }
    return f0;
}

第二章 勾股数组

习题2.1

​ (a) 我们证明了在任何本原勾股数组$(a,b,c)$中，$a$或 $b$是偶数。用相同的论证方法证明$a$或$b$必是3的倍数。

​ (b) 通过考察前面的本原勾股数组表，给出当$a,b或c$ 是$5$​ 的倍数时的猜测。试证明你的猜测是正确的。

(a) 令 $s=3p+m，t=3q+n$​​​
​ 1. 当$m=0或n=0时，a=st\equiv 0\mathrm{mod}3$​​​, 得证
​ 2. 当$m\ne 0且n\ne 0时,b=\frac{(s+t)(s-t)}{2}$​​
​ 2.1 $s\equiv t\mathrm{mod}3时\Rightarrow s-t\equiv 0\mathrm{mod}3\Rightarrow b\equiv 0\mathrm{mod}3$​
​ 2.2 $s\not\equiv t\mathrm{mod}3时\Rightarrow s+t\equiv 0\mathrm{mod}3\Rightarrow b\equiv 0\mathrm{mod}3$​
(b) 令 $s=5p+m，t=5q+n$
$$\{\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}m=0或n=0,& 5\mid a=st& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m+n=5或m=n,& 5\mid b=\frac{(s+t)(s-t)}{2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m=1,n=2,& 5\mid c=\frac{s^2+t^2}{2}=5x+5& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m=1,n=3,& 5\mid c=\frac{s^2+t^2}{2}=5x+10& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m=2,n=4,& 5\mid c=\frac{s^2+t^2}{2}=5x+20& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m=3,n=4,& 5\mid c=\frac{s^2+t^2}{2}=5x+25& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

习题2.2

​ 非零整数 d 整除 m 是指对某个整数 k 满足 $m=dk$. 证明: 若 d 整除 m 与 n， 则 d 也整除 m - n 与 m + n.

证:
\quad 令 $m=dk,n=dp,则m-n=d(k-p),m+n=d(k+p)$

习题2.3

​ 对下述每个问题，从搜集数据开始，进而分析数据，形成猜想；最后设法证明你得猜想是正确的。
​ (a) 哪些奇数a可出现在本原勾股数组$(a,b,c)$中？
​ (b) 哪些偶数b可出现在本原勾股数组$(a,b,c)$中？
​ (c) 哪些奇数c可出现在本原勾股数组$(a,b,c)$中？

(a) 答：所有大于1的奇数，令 t = 1 , s ∈ { x : x = 2 n + 1 , n ∈ N } , 则 ( s , t ) = 1 t = 1, s \in \{x: x = 2n + 1, n \in N\}, 则 (s, t) = 1 t=1,s∈{x:x=2n+1,n∈N},则(s,t)=1 , 则 a 可以取遍所有大于1的奇数
(b) 答：所有大于0且能被4整除的偶数，令 $s=t+2=2n+3,n\ge 0$, 则 :
$b=\frac{(s+t)(s-t)}{2}=2(t+1)=4(n+1)$
\qquad 假设 $(s,t)=d>1$，则有 $s=dp,t=dq\Rightarrow d(p-q)=2\Rightarrow d=2,显然2\nmid s且2\nmid t$
\qquad 任取 $s=t+2k=2n+2k+1$, 则 $b=\frac{(s+t)(s-t)}{2}=4nk+2k(k+1)\equiv 0\mathrm{mod}4$
(c) 答: c的质因数全部模4余1。质因数部分不证，困难级别。
\qquad 令 $s=t+2k$， 则$c=\frac{s^2+t^2}{2}=t^2+2k(k+t)$
$\because t是奇数\therefore 4\mid 2k(k+t)\therefore c\equiv t^2\equiv 1\mathrm{mod}4$​

习题2.4

​ 下面是两个本原勾股数组的例子：
$$33^2+56^2=65^2,16^2+63^2=65^2$$
​ 再找出至少一个新例子，使得两个本原勾股数组有相同的c值。你能找出有相同c值的三个本原勾股数组吗？你能找出多余三个且有相同c值的本原勾股数组吗？

答： 使用习题2.3中(c)的猜想。更一般的猜想: c = p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r ， { p 1 , p 2 , ⋯   , p r 是 c 的所有质因数 } c = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}， \{p_1,p_2,\cdots,p_r 是c的所有质因数\} c=p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​，{p1​,p2​,⋯,pr​是c的所有质因数}，则c 的本原勾股数组数为$2^{r-1}$，所以不存在恰好c值相同的三个本原勾股数组。
$$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlr}(5\times 13\times 17{)}^2& =1104^2+47^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & =943^2+576^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & =1073^2+264^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & =744^2+817^2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

习题2.5

​ 在第1章中我们看到 n 个三角数 $T_n$​由公式
$$T_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
​ 给出.前四个三角数是$1,3,6,10$. 在我们的勾股数组$(a,b,c)$列表中有些 b 值是三角数的4倍，例如， $(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$.

• (a) 求出 $b=4T_5,4T_6,4T_7$的本原勾股数组$(a,b,c)$​.
• (b) 你认为对每个三角数$T_n$都存在$b=4T_n$的本原勾股数组$(a,b,c)$吗？如果你确信这成立，则证明它，否则，找出使其不成立的三角数。

(a) 使用习题2.3 (b)中的结论。$(899,60,901),(1763,84,1765),(3135,112,3137)$
(b) 使用习题2.3(b)中的证明即可

习题2.6

​ 如果观察本章的本原勾股数组表，你会发现多个三元组$(a,b,c)$满足 c 比 a 大 2.例如三元组$(3,4,5),(15,8,17),(35,12,37),(63,16,65)$都具有这种性质。

• (a) 再求两个本原勾股数组$(a,b,c)$ 使得 $c=a+2$
• (b) 求本原勾股数组$(a,b,c)$使得 $c=a+2且c>1000$
• (c) 试求满足$ c = a + 2$的通用公式

(a) (b) (c) : 使用习题 $2.3$中的构造方法， 即$s=t+2$
则 $a=st=t^2+2t,c=t^2+2t+2$

习题2.7

​ 对本章列表中的每个本原勾股数组$(a,b,c)$, 计算$2c-2a$, 这些值呈现某种特殊形式吗？试证明你的观察对所有本原勾股数组都成立。

答: $2c-2a$ 是偶平方数。
$2c-2a=2\times \frac{s^2+t^2}{2}-2\times st=(s-t{)}^2$
令t = 1, 则s - t可以取遍所有大于 0 的偶数

习题2.8

​ 设 m , n 为相差 2 的正整数， 将 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$写成最简分数。例如， $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$.

• (a) 计算接下去的三个例子。
• (b) 考察(a) 中的分子和分母，与上一页上的勾股数组表对照。提出关于这些分数的一个猜想。
• (c) 证明你的猜想是正确的。

(a) $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12},\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{12}{35},\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}$
(b) $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{a}{b}$, $(a,b,\sqrt{a^2+b^2})$是本原勾股数组, 且:
$$\{\begin{array}{llcccccccccccccccccccccccccccc}m为奇数& \sqrt{a^2+b^2}-b=2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ m为偶数& \sqrt{a^2+b^2}-b=1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$
(c) 证:

1. $m为奇数时易证(m,n)=1$
   $令s=m=n+2,t=n,则a^{\prime }=st=mn，b^{\prime }=\frac{s^2-t^2}{2}=2n+2=m+n$
   $且\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}$
   $则有c^{\prime }=\frac{s^2+t^2}{2}=t^2+2t+2=mn+2=a^{\prime }+2$
2. $m为偶数时易证(m,n)=2，令m^{\prime }=\frac{m}{2},n^{\prime }=\frac{n}{2},则m^{\prime }=n^{\prime }+1$
   $令s=m^{\prime }+n^{\prime },t=1,显然(s,t)=1,则a^{\prime }=st=2n^{\prime }+1，b^{\prime }=2n^{\prime }(n^{\prime }+1)$
   $且\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2n^{\prime }+2}+\frac{1}{2n^{\prime }}=\frac{2n^{\prime }+1}{2n^{\prime }(n^{\prime }+1)}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$
   $则有c^{\prime }=\frac{s^2+t^2}{2}=2n^{\prime }(n^{\prime }+1)+1=b^{\prime }+1$

习题2.9

​ (a) 阅读关于巴比伦数系的材料并写出简短说明。要包括1 ~ 10 以及 20， 30， 40， 50的记号。
​ (b) 了解被称为Plimpton 322 号的巴比伦泥石板并写出简要说明， 要涉及他的形成年代。
​ (c) Plimpton 322 号的第二和第三列给出了一些整数对$(a,c)$，他们满足$c^2-a^2$是完全平方数。将其中的一些数对从巴比伦数转化为十进制数。并计算 b 的值使得$(a,b,c)$为勾股数组

(a) 采用60进制。假如用$\nabla$ 表示 $1$, $⟨$ 表示 $10$，则有$25:⟨⟨\begin{array}{ccc}\nabla & \nabla & \nabla \\ \nabla & \nabla & \end{array},136:\nabla \nabla ⟨\begin{array}{ccc}\nabla & \nabla & \nabla \\ \nabla & \nabla & \nabla \end{array}$.话说60怎么表示？
(b) 略
(c)
$$\begin{array}{ccccc}I& II& III& V& 是否本原\\ 1.9834028& 119& 169& 120& ✓\\ 1.9491586& 3367& 4825& 3456& ✓\\ 1.9188021& 4601& 6649& 4800& ✓\\ 1.8862479& 12709& 18541& 13500& ✓\\ 1.8150077& 65& 97& 72& ✓\\ 1.7851929& 319& 481& 360& ✓\\ 1.7199837& 2291& 3541& 2700& ✓\\ 1.6845877& 799& 1249& 960& ✓\\ 1.6426294& 481& 769& 600& ✓\\ 1.5861226& 4961& 8161& 6480& ✓\\ 1.5625& 45& 75& 60& ✖\\ 1.4894168& 1679& 2929& 2400& ✓\\ 1.4500174& 161& 289& 240& ✓\\ 1.4302388& 1771& 3229& 2700& ✓\\ 1.3871605& 56& 106& 90& ✖\end{array}$$

代码-本原勾股数组(简称PPT)

public List<int[]> countTriples(int n) {
    List<int[]> ls = new ArrayList<>();
    for(int t = 1; t * t < n; t += 2){
        for(int s = t + 2; ;s += 2){
            int c = (s * s + t * t) / 2;
            if(c > n) break;
            if(!gcd(t, s)) continue;
            int a = s * t;
            int b = (s * s - t * t) / 2;
            ls.add(new int[]{a, b, c});
        }
    }
    return ls;
}
public boolean gcd(int x, int y){
    while(y > 0){
        int t = x % y;
        x = y;
        y = t;
    }
    return x == 1;
}