一、函数
1 sigmoid
将一个数值通过函数映射到0-1之间。
sigmoid函数表达式如下
可以看到在趋于正无穷或负无穷时,函数趋近平滑状态,sigmoid函数因为输出范围(0,1),所以二分类的概率常常用这个函数。优点:1.值域在0和1之间;2.函数具有非常好的对称性
2 softmax
将一组数值进行组间的指数归一化
指数函数的值域取值范围是零到正无穷。与概率取值相似的地方是它们都是非负实数。那么我们可以利用指数函数将多分类结果映射到零到正无穷。然后进行归一化处理,便得到了近似的概率。
- 分子:通过指数函数,将实数输出映射到零到正无穷
- 分母:将所有结果相加,进行归一化。
二、熵的梳理
1 信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事,分别如下:
事件A:巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B:中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说,显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因,是因为事件A发生的概率很大,事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了,我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了,我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1][0,1],绘制为图形如右图
2 熵(信息量的期望)
考虑另一个问题,对于某个事件,有nn种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即:
其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是
然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(二项分布的特例),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式
3 相对熵
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异。
在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1] 。
直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。KL散度的计算公式:
n为事件的所有可能性。
Dkl的值越小,表示q分布和p分布越接近。
4 交叉熵
对上面的式子进行形变得到:
等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:
在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^)DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。
三、机器学习中交叉熵的应用
1.为什么使用交叉熵
在线性回归问题中,常使用到MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如:
这里的m表示m个样本,loss为m给我样本的loss均值
MSE在线性回归问题中比较好用,那么在逻辑分类问题中还是如此么
2 交叉熵在一对一分类问题中的使用
这里的一对一是指,每一张图像样本只能有一个类别,比如只能是狗或者只能是猫。
交叉熵在一对一问题上基本是标配的方法
上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本:
对应的标签和预测值
(网络的预测向量的和并不为1,一对一要求所有的概率和为1。所以网络最后一层要经过softmax,进行指数归一化,转成和为1的向量)
那么有
对应的一个batch的loss就是
m为当前batch的样本数
3 交叉熵在一对多分类问题中的使用
这里是指每一张图像样本可以有多个类别,比如同时包含一只猫和一只狗。
比如下面这张样本图,即有青蛙,又有老鼠,所以是一对多的分类问题
对应的标签和预测值
(网络的预测向量的每个值并不在0-1之间,一对多要求所有的概率处于0-1之间。所以网络最后一层要经过sigmoid,进行转换,保证每个值都在0-1之间)
对于预测向量的每一个值,我们可以看成是二分类的问题,交叉熵可以简化成
注意,上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为:
单张样本的loss即为
每一个batch的loss就是:
式中m为当前batch中的样本量,n为类别数4
4 softmax和cross-entropy的关系
softmax是计算概率分布。cross-entropy是计算两个概率分布的相似性。求概率分布的方式和损失函数之间没有必然的联系。是在神经网络当中,经常会用softmax函数计算概率,然后再用cross-entropy计算损失值。
四 tensorflow中的使用
1 softmax_cross_entropy_with_logits
与 sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
(用在一对一的分类的网络中)
(1) 在计算loss的时候,最常见的就是softmax_cross_entropy_with_logits
loss = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits, labels, name=None)
loss = tf.reduce_mean(loss)
- 参数logits:神经网络最后一层的输出,如有batch,它的大小为[batchsize, num_classes],类型为 float16/32/64
- 参数labels:实际的标签,大小类型和logits保持一致
等价于
y = tf.nn.softmax(logits)
cross_entropy = -y_*tf.log(y) #向量
loss = tf.reduce_sum(cross_entropy) #值
- 网络的输出是向量,要先进行softmax(转换成概率)然后计算交叉熵(label的概率和预测的概率的分布的差异)
(2) sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
label = [0,1,3,2]
logits = tf.convert_to_tensor([[1.0,2.0,3.0], [1.0, 2.0, 3.0],[1.0,2.0,3.0]]) #our NN's output
cross_entropy = tf.reduce_sum(tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(labels=label,logits=logits))
- label:元素的类型为int,大小为[batch]
- logits:网络的输出。元素为tf.float,大小为[batch, num_classes]
栗子
import tensorflow as tf
label_or = [0,2,1]
label = tf.cast(label_or, tf.int32)
label = tf.one_hot(label, 3, 1, 0, axis=0) #3:分3类,类别位置为1,其余为0,
label = tf.to_float(label)
# label = [[1 0 0 0], [0 0 1 0], [0 1 0 0]] #true label
a = [[1.0,2.0,3.0], [1.0, 2.0, 3.0],[1.0,2.0,3.0]]
logits = tf.convert_to_tensor(a) #our NN's output
y = tf.nn.softmax(logits) # 默认axis = -1
# predicts = tf.argmax(y, axis=-1, name='predicts') # 预测时候使用
cross_entropy = -tf.reduce_sum(label*tf.log(y)) #不推荐。当a的元素过大,自己写的交叉熵计算会失败
cross_entropy2 = tf.reduce_sum(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=label, logits=logits))
cross_entropy3 = tf.reduce_sum(tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(labels=label_or,logits = logits)) #label_or必须在0-(n-1)之间,n为分类数量
with tf.Session() as sess:
print('step1: softmax is:',sess.run(y))
print('softmax method 1 is:', sess.run(cross_entropy))
print('softmax method 2 is:',sess.run(cross_entropy2))
print('softmax method 3 is:',sess.run(cross_entropy3))
softmax的计算与数值稳定性
在Python中,softmax函数为:
def softmax(x):
exp_x = np.exp(x)
return exp_x / np.sum(exp_x)
# 传入数值较小时
softmax([1, 2, 3, 4, 5])
# array([ 0.01165623, 0.03168492, 0.08612854, 0.23412166, 0.63640865])
# 传入数值较大时
softmax([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])
# array([ nan, nan, nan, nan, nan])
这是因为在求exp(x)
时候溢出了:
import math
math.exp(1000)
# Traceback (most recent call last):
# File "<stdin>", line 1, in <module>
# OverflowError: math range error
一种简单有效避免该问题的方法就是让exp(x)中的x值不要那么大或那么小,在softmax函数的分式上下分别乘以一个非零常数:
这样做相当于
def softmax(x):
shift_x = x - np.max(x) #[1000, 2000, 3000, 4000, 5000]==>>[-4000,-3000,-2000,-1000,0]
exp_x = np.exp(shift_x)
return exp_x / np.sum(exp_x)
a = softmax([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])
# array([ 0., 0., 0., 0., 1.])
这样也是有问题的:softmax
函数不可能产生0值,但这总比出现nan
的结果好,并且真实的结果也是非常接近0的。
在tensorflow中tf.nn.softmax和tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits等都将这个滑动操作添加。自己写交叉熵时,输入元素较大时得到的输出元素中出现为0,计算tf.log会失败。
2 sigmoid_cross_entropy_with_logits
(用在一对多分类的网络中)
用法和softmax_cross_entropy_with_logits基本一样,原理有所差别